Movimiento Plano General De Un Cuerpo Rigido Ejercicios Resueltos

Introducción

El movimiento plano general de un cuerpo rígido es una combinación de traslación y rotación. Vamos a resolver algunos ejercicios para entender este concepto.

Entenderemos cómo aplicar ecuaciones y relacionar las velocidades y aceleraciones de diferentes puntos del cuerpo rígido. Estos ejemplos te ayudarán a comprender mejor este tema.

Prepárate para analizar algunos ejercicios paso a paso. Sigamos adelante.

Ejercicio 1: Barra Rotando y Trasladándose

Problema: Una barra AB de 2 metros de longitud se mueve en el plano XY. El punto A tiene una velocidad de 3 m/s en la dirección i (horizontal). La barra rota con una velocidad angular de 2 rad/s en sentido antihorario. Encuentra la velocidad del punto B.

Paso 1: Definir las Velocidades

Primero, definimos la velocidad del punto A: v_A = 3i m/s.

Luego, definimos la velocidad angular de la barra: ω = 2k rad/s (sentido antihorario es positivo en el eje z).

Queremos encontrar v_B, la velocidad del punto B.

Paso 2: Ecuación de Velocidad Relativa

Usamos la ecuación de velocidad relativa: v_B = v_A + ω x r_B/A.

Aquí, r_B/A es el vector posición del punto B con respecto al punto A. En este caso, r_B/A = 2i metros.

El vector r_B/A apunta desde A hasta B, y su magnitud es la longitud de la barra.

Paso 3: Calcular el Producto Cruz

Calculamos el producto cruz: ω x r_B/A = (2k) x (2i) = 4j m/s.

Recuerda que k x i = j.

Este producto cruz representa la velocidad de B debido a la rotación de la barra alrededor de A.

Paso 4: Encontrar la Velocidad de B

Sustituimos en la ecuación de velocidad relativa: v_B = 3i + 4j m/s.

Por lo tanto, la velocidad del punto B es 3i + 4j m/s.

El punto B tiene una componente horizontal de 3 m/s y una componente vertical de 4 m/s.

Ejercicio 2: Disco Rodando sin Deslizar

Problema: Un disco de radio 0.5 metros rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. El centro del disco (punto O) tiene una velocidad de 2 m/s. Encuentra la velocidad del punto de contacto (punto C) con la superficie y la velocidad del punto más alto del disco (punto A).

Paso 1: Velocidad del Centro

La velocidad del centro O es: v_O = 2i m/s.

El disco rueda sin deslizar, lo que significa que el punto de contacto con la superficie tiene velocidad cero.

Por lo tanto, v_C = 0.

Paso 2: Velocidad Angular

Como el disco rueda sin deslizar, podemos relacionar la velocidad del centro con la velocidad angular: v_O = r ω.

Donde r es el radio del disco. Entonces, 2 = 0.5 * ω, lo que implica que ω = 4 rad/s en sentido horario (-4k rad/s).

La dirección de la rotación es horaria porque el centro se mueve hacia la derecha y el disco rueda hacia adelante.

Paso 3: Velocidad del Punto A

Usamos la ecuación de velocidad relativa: v_A = v_O + ω x r_A/O.

Aquí, r_A/O = 0.5j (el punto A está arriba del centro O).

Calculamos el producto cruz: ω x r_A/O = (-4k) x (0.5j) = 2i m/s.

Paso 4: Calcular la Velocidad de A

Sustituimos: v_A = 2i + 2i = 4i m/s.

La velocidad del punto A es 4i m/s, el doble de la velocidad del centro. Esto tiene sentido porque el punto A se mueve con la traslación del centro más la rotación.

Recuerda que el punto de contacto C tiene velocidad cero debido a la condición de rodadura sin deslizamiento.