Własności Funkcji Sprawdzian 3 Gim

Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru argumentów (dziedziny) przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru wartości (przeciwdziedziny).

Dziedzina funkcji (D) to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Czyli to wszystkie możliwe "x", które możemy wstawić do wzoru funkcji.

Przykład: Dla funkcji f(x) = 1/x, dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem 0 (D = R \ {0}), bo nie możemy dzielić przez zero.

Zbiór wartości funkcji (ZW) to zbiór wszystkich wartości, które funkcja przyjmuje. To wszystkie możliwe "y", które otrzymujemy, wstawiając do wzoru funkcji argumenty z dziedziny.

Przykład: Dla funkcji f(x) = x², zbiorem wartości jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nieujemnych (ZW = <0, +∞)), bo kwadrat liczby zawsze jest większy lub równy zero.

Miejsce zerowe funkcji to argument (x), dla którego wartość funkcji wynosi zero (f(x) = 0). To punkt, w którym wykres funkcji przecina oś OX.

Przykład: Dla funkcji f(x) = x - 2, miejscem zerowym jest x = 2, ponieważ f(2) = 2 - 2 = 0.

Monotoniczność funkcji opisuje, jak zmieniają się wartości funkcji wraz ze wzrostem argumentów. Mówimy o:

• Funkcji rosnącej: Jeśli dla każdych dwóch argumentów x₁ i x₂, takich że x₁ < x₂, zachodzi f(x₁) < f(x₂). Wraz ze wzrostem x, y też rośnie.
• Funkcji malejącej: Jeśli dla każdych dwóch argumentów x₁ i x₂, takich że x₁ < x₂, zachodzi f(x₁) > f(x₂). Wraz ze wzrostem x, y maleje.
• Funkcji stałej: Jeśli dla każdych dwóch argumentów x₁ i x₂, zachodzi f(x₁) = f(x₂). Wartość y się nie zmienia.
• Funkcji nierosnącej: Jeśli dla każdych dwóch argumentów x₁ i x₂, takich że x₁ < x₂, zachodzi f(x₁) ≥ f(x₂).
• Funkcji niemalejącej: Jeśli dla każdych dwóch argumentów x₁ i x₂, takich że x₁ < x₂, zachodzi f(x₁) ≤ f(x₂).

Wartości dodatnie i ujemne funkcji zależą od tego, czy f(x) jest większe, czy mniejsze od zera.

• Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla tych argumentów, dla których f(x) > 0. Wykres znajduje się nad osią OX.
• Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla tych argumentów, dla których f(x) < 0. Wykres znajduje się pod osią OX.

Ekstrema funkcji to punkty, w których funkcja osiąga maksimum lub minimum (lokalne lub globalne).

• Maksimum lokalne to największa wartość funkcji w pewnym otoczeniu danego punktu.
• Minimum lokalne to najmniejsza wartość funkcji w pewnym otoczeniu danego punktu.

Argumenty dla których funkcja przyjmuje daną wartość: Aby znaleźć argumenty, dla których f(x) = a (gdzie a to dana liczba), rozwiązujemy równanie f(x) = a. Rozwiązania tego równania są szukanymi argumentami.

Przykład: Dla funkcji f(x) = 2x + 1, aby znaleźć argumenty, dla których f(x) = 5, rozwiązujemy równanie 2x + 1 = 5. Rozwiązaniem jest x = 2.