Witajcie! Dziś porozmawiamy o czymś, co może brzmieć trochę tajemniczo, ale w rzeczywistości jest bardzo praktyczne: o układach równań. Wyobraźcie sobie, że macie dwie zagadki do rozwiązania jednocześnie, a każda z nich ma swoje zasady. To właśnie są układy równań!
Co to jest równanie? Równanie to takie matematyczne zdanie, w którym dwie rzeczy są sobie równe. Zwykle wygląda to tak: jakaś liczba plus inna liczba daje konkretny wynik. Na przykład, jeśli powiem, że x plus 3 równa się 7 (czyli x + 3 = 7), to x musi być 4, prawda? Tutaj x to nasza niewiadoma, czyli coś, czego szukamy.
Co to jest układ równań? Układ równań to po prostu zestaw dwóch lub więcej równań, które musimy rozwiązać jednocześnie. Chodzi o to, żeby znaleźć takie liczby, które będą pasowały do wszystkich równań w tym zestawie. Najczęściej w szkole podstawowej zajmujemy się układami dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Czyli szukamy dwóch liczb, które spełniają oba warunki naraz.
Must Read
Pomyślcie o tym jak o sytuacji, gdy chcecie kupić dwa rodzaje owoców na targu. Na przykład jabłka i gruszki. Wiecie, że za 2 jabłka i 1 gruszkę zapłaciliście 5 złotych (to jest nasze pierwsze równanie). Jednocześnie wiecie, że za 1 jabłko i 3 gruszki zapłaciliście 7 złotych (to jest nasze drugie równanie). Układ równań pomoże Wam dowiedzieć się, ile kosztuje jedno jabłko, a ile jedna gruszka, wiedząc, że ceny są takie same w obu przypadkach.
Jak rozwiązać taki układ? Jest kilka sposobów. Dwa najpopularniejsze to metoda podstawiania i metoda przeciwnych współczynników. Nie martwcie się nazwami, zaraz je wyjaśnimy.
Metoda podstawiania polega na tym, że z jednego równania wyliczamy jedną niewiadomą (na przykład mówimy, ile jest warte x w zależności od y), a potem to "podstawiamy" do drugiego równania. W ten sposób w drugim równaniu zostanie nam już tylko jedna niewiadoma, którą łatwo obliczyć. Potem wracamy do tego, co wyliczyliśmy wcześniej, żeby znaleźć wartość drugiej niewiadomej.
Przykład z owocami: 1. 2j + 1g = 5 (2 jabłka + 1 gruszka = 5 zł) 2. 1j + 3g = 7 (1 jabłko + 3 gruszki = 7 zł) Z drugiego równania możemy wyliczyć, że 1 jabłko kosztuje: j = 7 - 3g. Teraz to "podstawiamy" do pierwszego równania: 2 * (7 - 3g) + 1g = 5. Rozwiązujemy: 14 - 6g + 1g = 5, czyli 14 - 5g = 5. Odejmujemy 14 od obu stron: -5g = -9. Dzielimy przez -5: g = 1.8. Czyli jedna gruszka kosztuje 1.80 zł.
Teraz wracamy do naszego pierwszego wyliczenia: j = 7 - 3g. Podstawiamy znalezioną cenę gruszki: j = 7 - 3 * 1.8. Liczymy: j = 7 - 5.4, czyli j = 1.6. Jedno jabłko kosztuje 1.60 zł.
Metoda przeciwnych współczynników działa trochę inaczej. Chodzi o to, żeby tak pomnożyć jedno lub oba równania, aby przy jednej z niewiadomych pojawiły się liczby, które po dodaniu równań dadzą zero. Na przykład, jeśli mamy 2x w jednym równaniu, a w drugim -2x, to jak dodamy te równania stronami, x nam zniknie!
W naszej sytuacji moglibyśmy na przykład drugie równanie pomnożyć przez -2. Wtedy mielibyśmy: 1. 2j + 1g = 5 2. -2j - 6g = -14 (po pomnożeniu przez -2) Teraz dodajemy te dwa równania stronami: (2j - 2j) + (1g - 6g) = (5 - 14) 0j - 5g = -9 -5g = -9 g = 1.8 Widzicie? Dostaliśmy ten sam wynik dla gruszki!
Drukowanie sprawdzianu z układow równań oznacza po prostu przygotowanie testu, który będzie zawierał zadania dotyczące rozwiązywania takich układów. Waszym zadaniem będzie wybranie odpowiedniej metody i prawidłowe obliczenie wartości niewiadomych. Ćwiczenie czyni mistrza, więc im więcej zadań rozwiążecie, tym lepiej Wam pójdzie!
