Układy równań to nic innego jak dwa lub więcej równań, w których szukamy wspólnego rozwiązania. To rozwiązanie musi spełniać wszystkie równania w układzie jednocześnie.
Żeby rozwiązać układ równań, musimy znaleźć wartości dla niewiadomych (najczęściej x i y), które po podstawieniu do każdego z równań dadzą prawdziwą równość. Istnieją na to różne metody, a w gimnazjum najczęściej spotyka się:
1. Metoda podstawiania:
Must Read
Ta metoda polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i podstawieniu jej do drugiego równania. Zobaczmy na przykładzie:
Mamy układ równań:
x + y = 5
2x - y = 1
Krok 1: Wyznaczamy jedną niewiadomą z pierwszego równania. Na przykład wyznaczmy y:
y = 5 - x
Krok 2: Podstawiamy to wyrażenie za y do drugiego równania:
2x - (5 - x) = 1
Krok 3: Upraszczamy i rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą:
2x - 5 + x = 1
3x = 6
x = 2
Krok 4: Podstawiamy wartość x do równania, w którym wyznaczyliśmy y:
y = 5 - 2
y = 3
Krok 5: Sprawdzamy rozwiązanie. Podstawiamy x=2 i y=3 do obu równań i sprawdzamy, czy są prawdziwe.
Rozwiązaniem układu jest więc para liczb: x = 2, y = 3.
2. Metoda przeciwnych współczynników:
Ta metoda polega na pomnożeniu jednego lub obu równań przez takie liczby, aby przy jednej z niewiadomych pojawiły się przeciwne współczynniki. Następnie dodajemy równania stronami. Zobaczmy:
Mamy układ równań:
x + 2y = 7
3x - 2y = 5
Zauważmy, że przy 'y' mamy już przeciwne współczynniki (+2 i -2).
Krok 1: Dodajemy równania stronami:
(x + 2y) + (3x - 2y) = 7 + 5
Krok 2: Upraszczamy:
4x = 12
Krok 3: Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą:
x = 3
Krok 4: Podstawiamy wartość x do dowolnego z początkowych równań, aby obliczyć y. Wybierzmy pierwsze:
3 + 2y = 7
2y = 4
y = 2
Rozwiązaniem układu jest para liczb: x = 3, y = 2.
Kiedy układ równań ma rozwiązanie?
- JEDNO rozwiązanie: Układ jest oznaczony. Proste reprezentowane przez te równania przecinają się w jednym punkcie.
- BRAK rozwiązań: Układ jest sprzeczny. Proste są równoległe i nie przecinają się.
- NIESKOŃCZENIE WIELE rozwiązań: Układ jest nieoznaczony. Równania opisują tą samą prostą.
Pamiętaj o dokładnym sprawdzaniu swoich obliczeń! To klucz do sukcesu na sprawdzianie z układów równań.
