Sprawdzian Matematyka Z Plusem 3 Zad 10 Str 111

Zadanie 10 ze strony 111 z podręcznika "Sprawdzian Matematyka Z Plusem 3" prawdopodobnie dotyczy zagadnień związanych z funkcjami, a konkretnie z ich własnościami lub wykresami. Aby dobrze zrozumieć to zadanie, przypomnijmy sobie, czym jest funkcja i jakie są jej podstawowe pojęcia.

Definicja funkcji: Funkcja to przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi z pewnego zbioru (nazywanego dziedziną) odpowiada dokładnie jeden element z innego zbioru (nazywanego przeciwdziedziną). W szkole średniej najczęściej mamy do czynienia z funkcjami, gdzie dziedziną i przeciwdziedziną są zbiory liczb rzeczywistych.

Często funkcje określamy za pomocą wzoru, np. \(f(x) = 2x + 1\). Tutaj \(x\) to zmienna niezależna, a \(f(x)\) to wartość funkcji dla danego \(x\). "Sprawdzian Matematyka Z Plusem 3" to podręcznik dla klasy trzeciej, więc zadania mogą dotyczyć funkcji liniowej, kwadratowej, wymiernej lub potęgowej.

Rozłożenie typowego zadania na czynniki pierwsze:

Zadanie 10 ze strony 111 może prosić o wykonanie kilku czynności. Oto przykładowe kroki, które mogą być potrzebne:

1. Określenie dziedziny i zbioru wartości: Czasami trzeba podać, dla jakich argumentów funkcja jest określona (dziedzina) i jakie wartości przyjmuje (zbiór wartości). Na przykład, dla funkcji \(f(x) = \sqrt{x}\), dziedziną jest zbiór liczb nieujemnych (\(x \ge 0\)), a zbiorem wartości są liczby nieujemne (\(y \ge 0\)).
2. Analiza wykresu funkcji: Może być potrzebne narysowanie wykresu funkcji lub analiza już podanego wykresu. Na wykresie możemy odczytać np. miejsca zerowe (gdzie funkcja przecina oś x), wartości największe i najmniejsze, monotoniczność (czy funkcja rośnie, maleje, czy jest stała).
3. Badanie własności funkcji: To kluczowy element. Mogą to być:
   • Parzystość i nieparzystość: Czy wykres funkcji jest symetryczny względem osi y (funkcja parzysta) lub względem początku układu współrzędnych (funkcja nieparzysta)?
   • Monotoniczność: Gdzie funkcja jest rosnąca, a gdzie malejąca?
   • Miejsca zerowe: Dla jakich \(x\) wartość funkcji wynosi 0?
   • Wartości dodatnie i ujemne: Dla jakich \(x\) funkcja przyjmuje wartości większe od 0, a dla jakich mniejsze od 0?
4. Rozwiązywanie równań i nierówności związanych z funkcją: Na przykład, ile wynosi \(f(3)\) lub rozwiązać równanie \(f(x) = 5\).

Przykład:

Załóżmy, że zadanie dotyczy funkcji \(f(x) = x^2 - 4\). Podręcznik może prosić o podanie jej dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych i przedziałów monotoniczności.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (\(\mathbb{R}\)), ponieważ możemy podnieść do kwadratu każdą liczbę rzeczywistą. Aby znaleźć miejsca zerowe, rozwiązujemy równanie \(f(x) = 0\):

\(x^2 - 4 = 0\)

\(x^2 = 4\)

\(x = 2\) lub \(x = -2\). To są miejsca zerowe.

Zbiór wartości funkcji kwadratowej z ramionami skierowanymi w górę (tak jak tutaj, bo współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni) zaczyna się od wierzchołka. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie \((0, -4)\). Zatem zbiorem wartości jest \(y \ge -4\).

Funkcja maleje dla \(x < 0\) i rośnie dla \(x > 0\). To są przedziały monotoniczności.

Rozumiejąc te podstawowe pojęcia i stosując je krok po kroku do konkretnego wzoru lub wykresu funkcji, można skutecznie rozwiązać zadanie 10 ze strony 111.