Pole I Objętość Graniastosłupa Sprawdzian Gimnazjum

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian. Graniastosłup to bryła geometryczna posiadająca dwa identyczne i równoległe wielokąty zwane podstawami, połączone prostokątnymi lub równoległobocznymi ścianami bocznymi. W przypadku graniastosłupa prostego, ściany boczne są zawsze prostokątami, a krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.

Obliczanie pola powierzchni graniastosłupa wymaga znajomości pola jego podstaw i pola ścian bocznych. Ogólny wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa (Pc) wygląda następująco: Pc = 2 * Pp + Pb, gdzie Pp to pole jednej podstawy, a Pb to pole powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej (Pb) obliczamy jako sumę pól wszystkich ścian bocznych. Dla graniastosłupa prostego o obwodzie podstawy Ob i wysokości h, pole powierzchni bocznej można obliczyć jako: Pb = Ob * h. Jest to intuicyjne, ponieważ rozwinięcie powierzchni bocznej graniastosłupa prostego tworzy prostokąt o bokach równych obwodowi podstawy i wysokości graniastosłupa.

Objętość graniastosłupa to miara przestrzeni zajmowanej przez tę bryłę. Oblicza się ją poprzez pomnożenie pola podstawy przez wysokość graniastosłupa. Wzór na objętość (V) jest następujący: V = Pp * h, gdzie Pp to pole podstawy, a h to wysokość graniastosłupa.

Ważne jest, aby zrozumieć, że wysokość graniastosłupa (h) jest odległością prostopadłą między płaszczyznami podstaw. W graniastosłupie prostym wysokość jest równa długości krawędzi bocznej. W graniastosłupie nachylonym, wysokość jest krótsza od krawędzi bocznej.

Przykład 1: Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego o podstawie kwadratowej o boku 4 cm i wysokości 6 cm.

Najpierw obliczamy pole podstawy (Pp): Pp = a^2 = 4 cm * 4 cm = 16 cm².

Następnie obliczamy obwód podstawy (Ob): Ob = 4 * a = 4 * 4 cm = 16 cm.

Pole powierzchni bocznej (Pb) wynosi: Pb = Ob * h = 16 cm * 6 cm = 96 cm².

Pole powierzchni całkowitej (Pc): Pc = 2 * Pp + Pb = 2 * 16 cm² + 96 cm² = 32 cm² + 96 cm² = 128 cm².

Objętość (V): V = Pp * h = 16 cm² * 6 cm = 96 cm³.

Przykład 2: Oblicz objętość graniastosłupa trójkątnego prostokątnego, którego podstawa ma przyprostokątne o długości 3 cm i 4 cm, a wysokość graniastosłupa wynosi 5 cm.

Najpierw obliczamy pole podstawy (Pp) – trójkąta prostokątnego: Pp = (1/2) * a * b = (1/2) * 3 cm * 4 cm = 6 cm².

Objętość (V) wynosi: V = Pp * h = 6 cm² * 5 cm = 30 cm³.

Graniastosłupy mają szerokie zastosowanie w rzeczywistości. Budynki mieszkalne i biurowe często mają kształt prostopadłościanów (szczególny przypadek graniastosłupa prostego o podstawie prostokątnej). Puszki konserwowe są przykładem graniastosłupów prostych o podstawie koła (czyli walców, choć formalnie to nie graniastosłupy, ale stosuje się podobne zasady). Cegły, pudełka, a nawet niektóre formacje skalne mogą przybierać kształt graniastosłupów.