Matematyka Przed Próbną Maturą 2017 Sprawdzian 2

Ten artykuł wyjaśnia zagadnienia z Matematyka Przed Próbną Maturą 2017 Sprawdzian 2. Skupimy się na kluczowych pojęciach i krokach, które pomogą Ci zrozumieć materiał.

Zaczniemy od podstawowego pojęcia. W tym sprawdzianie często pojawiają się zadania związane z funkcjami kwadratowymi. Funkcja kwadratowa ma ogólną postać: f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b, c to współczynniki liczbowe, a a ≠ 0.

Kluczowym elementem funkcji kwadratowej jest jej wykres, który jest parabolą. Kształt paraboli zależy od współczynnika a. Jeśli a > 0, parabola ma ramiona skierowane w górę. Jeśli a < 0, parabola ma ramiona skierowane w dół.

Aby narysować wykres funkcji kwadratowej, potrzebujemy kilku ważnych elementów:

1. Wierzchołek paraboli: Jest to najważniejszy punkt. Współrzędne wierzchołka (p, q) obliczamy ze wzorów:
   • p = -b / (2a)
   • q = f(p) (czyli wartość funkcji w punkcie p)
2. Miejsca zerowe: Są to wartości x, dla których f(x) = 0. Obliczamy je, rozwiązując równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Używamy do tego wzoru na deltę:
   • Δ = b² - 4ac
   Następnie miejsca zerowe to:
   • x₁ = (-b - √Δ) / (2a)
   • x₂ = (-b + √Δ) / (2a)
   Jeśli Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych. Jeśli Δ = 0, ma jedno miejsce zerowe.
3. Punkt przecięcia z osią Y: Jest to wartość f(0), która równa jest współczynnikowi c. Punkt ten ma współrzędne (0, c).

Przykład: Rozważmy funkcję f(x) = x² - 4x + 3.

Tutaj: a = 1, b = -4, c = 3. Ponieważ a = 1 > 0, parabola będzie miała ramiona skierowane w górę.

1. Wierzchołek:

• p = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2
• q = f(2) = 2² - 42 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
• Wierzchołek to punkt (2, -1).

2. Miejsca zerowe:

• Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
• √Δ = √4 = 2
• x₁ = (-(-4) - 2) / (2 * 1) = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1
• x₂ = (-(-4) + 2) / (2 * 1) = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3
• Miejsca zerowe to 1 i 3.

3. Punkt przecięcia z osią Y:

• f(0) = 0² - 40 + 3 = 3
• Punkt to (0, 3).

Znając te punkty, możemy narysować dokładny wykres funkcji.

Sprawdzian może również zawierać zadania dotyczące nierówności kwadratowych. Aby rozwiązać nierówność, np. ax² + bx + c > 0, najpierw znajdujemy miejsca zerowe funkcji f(x) = ax² + bx + c. Następnie, na podstawie ramion paraboli i znalezionych miejsc zerowych, określamy przedziały, dla których nierówność jest spełniona.

Pamiętaj o dokładnym czytaniu poleceń i stosowaniu właściwych wzorów. Ćwiczenie przykładów z próbnej matury 2017 pomoże Ci utrwalić wiedzę.