Matematyka Nowa Era Funkcja Kwadratowa Sprawdzian

Funkcja kwadratowa to jeden z podstawowych tematów w matematyce. Jest to funkcja, którą można zapisać w postaci ogólnej: f(x) = ax² + bx + c.

W tym wzorze:

• x to nasza zmienna.
• a, b i c to współczynniki.
• Współczynnik a nie może być równy zero (a ≠ 0). Gdyby był, nie byłaby to funkcja kwadratowa, ale liniowa.

Wykres funkcji kwadratowej nazywamy parabolą. Kształt tej paraboli zależy od znaku współczynnika a.

• Jeśli a > 0 (czyli "a" jest dodatnie), parabola jest skierowana ramionami do góry. Wygląda jak literka "U".
• Jeśli a < 0 (czyli "a" jest ujemne), parabola jest skierowana ramionami w dół. Wygląda jak odwrócona literka "U".

Aby lepiej zrozumieć funkcję kwadratową, musimy poznać jej kluczowe elementy:

1. Wierzchołek paraboli: To najważniejszy punkt na wykresie. Jest to punkt, w którym parabola "zmienia kierunek".
   • Współrzędną x wierzchołka (x_w) obliczamy ze wzoru: x_w = -b / 2a.
   • Współrzędną y wierzchołka (y_w) obliczamy, podstawiając znalezione x_w do wzoru funkcji: y_w = f(x_w).
2. Miejsca zerowe: To punkty, w których wykres funkcji przecina oś x. W tych punktach wartość funkcji (y) jest równa zero. Aby je znaleźć, rozwiązujemy równanie ax² + bx + c = 0.
   • Używamy do tego wyróżnika trójmianu kwadratowego, czyli delta (Δ), obliczanej ze wzoru: Δ = b² - 4ac.
   • Jeśli Δ > 0, mamy dwa miejsca zerowe. Obliczamy je ze wzorów: x₁ = (-b - √Δ) / 2a i x₂ = (-b + √Δ) / 2a.
   • Jeśli Δ = 0, mamy jedno miejsce zerowe (parabola dotyka osi x w jednym punkcie). Obliczamy je ze wzoru: x₀ = -b / 2a.
   • Jeśli Δ < 0, nie ma miejsc zerowych (parabola nie przecina osi x).
3. Oś symetrii: To pionowa linia, która dzieli parabolę na dwie lustrzane połówki. Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek paraboli. Jej równanie to x = x_w.
4. Punkt przecięcia z osią y: To punkt, w którym parabola przecina oś y. Zawsze jest to punkt o współrzędnych (0, c). Dlaczego? Bo gdy podstawimy x=0 do wzoru funkcji, otrzymamy f(0) = a(0)² + b(0) + c = c.

Przykład: Rozważmy funkcję f(x) = x² - 4x + 3.

• Tutaj a = 1, b = -4, c = 3.
• Ponieważ a > 0, parabola będzie skierowana ramionami do góry.
• Wierzchołek:
  • x_w = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2
  • y_w = f(2) = 2² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
  • Wierzchołek ma współrzędne (2, -1).
• Miejsca zerowe:
  • Δ = (-4)² - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4
  • Ponieważ Δ > 0, mamy dwa miejsca zerowe.
  • √Δ = √4 = 2
  • x₁ = (-(-4) - 2) / (2 * 1) = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1
  • x₂ = (-(-4) + 2) / (2 * 1) = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3
  • Miejsca zerowe to x = 1 i x = 3.
• Oś symetrii: x = 2
• Punkt przecięcia z osią y: (0, 3)

Znajomość tych elementów pozwala narysować dokładny wykres funkcji kwadratowej i zrozumieć jej zachowanie.