Funkcje Wymierne Sprawdzian Liceum Pdf

Funkcja wymierna to funkcja, którą można zapisać jako iloraz dwóch wielomianów. Oznacza to, że ma postać f(x) = P(x) / Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) ≠ 0.

Dziedzina funkcji wymiernej: Kluczowe jest ustalenie dziedziny. Mianownik (Q(x)) musi być różny od zera. Znajdujemy miejsca zerowe mianownika (rozwiązujemy równanie Q(x) = 0), a następnie wykluczamy te wartości z dziedziny liczb rzeczywistych. Np., jeśli Q(x) = x - 2, to x = 2, więc dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 2, zapisywane jako R \ {2}.

Asymptoty: Funkcje wymierne często mają asymptoty, które określają zachowanie funkcji na krańcach jej dziedziny i w pobliżu punktów, w których mianownik jest równy zero. Rozróżniamy trzy rodzaje:

• Asymptota pionowa: Występuje w punktach, które zerują mianownik i nie zerują licznika. Jeśli x = a zeruje mianownik i licznik jest niezerowy dla x=a, to linia x = a jest asymptotą pionową. Przykład: f(x) = 1/(x-3) ma asymptotę pionową x = 3.
• Asymptota pozioma: Opisuje zachowanie funkcji, gdy x dąży do plus lub minus nieskończoności. Porównujemy stopnie wielomianów P(x) i Q(x):
  • Jeśli stopień P(x) < stopień Q(x), to asymptotą poziomą jest y = 0. Przykład: f(x) = x / (x² + 1).
  • Jeśli stopień P(x) = stopień Q(x), to asymptotą poziomą jest y = (współczynnik przy najwyższej potędze P(x)) / (współczynnik przy najwyższej potędze Q(x)). Przykład: f(x) = (2x² + x) / (x² - 1) ma asymptotę poziomą y = 2.
  • Jeśli stopień P(x) > stopień Q(x), to funkcja nie ma asymptoty poziomej (może mieć asymptotę ukośną).
• Asymptota ukośna: Występuje, gdy stopień P(x) jest dokładnie o jeden większy niż stopień Q(x). Aby ją znaleźć, dzielimy wielomian P(x) przez Q(x). Asymptota ukośna to y = ax + b, gdzie ax + b to wynik tego dzielenia (bez reszty).

Miejsca zerowe: Miejsca zerowe funkcji wymiernej to wartości x, dla których licznik P(x) jest równy zero, a mianownik Q(x) jest różny od zera. Rozwiązujemy równanie P(x) = 0, pamiętając o wykluczeniu rozwiązań, które zerują mianownik.

Przykładowe zadanie: Dana jest funkcja f(x) = (x + 1) / (x - 2). Znajdź dziedzinę, asymptoty i miejsca zerowe.

Rozwiązanie:

• Dziedzina: x - 2 ≠ 0, więc x ≠ 2. Dziedzina: R \ {2}.
• Asymptota pionowa: x = 2 (zeruje mianownik, nie zeruje licznika).
• Asymptota pozioma: Stopień licznika (1) = stopień mianownika (1). Asymptota pozioma: y = 1/1 = 1.
• Miejsce zerowe: x + 1 = 0, więc x = -1. Sprawdzamy, czy -1 nie zeruje mianownika: (-1) - 2 = -3 ≠ 0. Miejsce zerowe: x = -1.

Przy rozwiązywaniu zadań na sprawdzianie, pamiętaj o dokładnym wyznaczeniu dziedziny, asymptot i miejsc zerowych. Zrozumienie tych pojęć jest kluczowe do poprawnego analizowania i szkicowania wykresów funkcji wymiernych. Ćwicz regularnie, analizuj przykłady i zrozumienie wzajemne relacje między różnymi elementami funkcji.