Funkcja Wymierna Sprawdzian Nowa Era

Funkcja wymierna to funkcja, którą można zapisać jako iloraz dwóch wielomianów. Czyli ma postać f(x) = W(x) / P(x), gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0. To ważne – mianownik nigdy nie może być zerem!

Żeby dobrze zrozumieć funkcje wymierne na sprawdzianie "Nowa Era", trzeba opanować kilka kluczowych zagadnień:

1. Dziedzina funkcji:

Dziedzina to zbiór wszystkich liczb, dla których funkcja ma sens. W przypadku funkcji wymiernej, musimy wykluczyć te wartości x, dla których mianownik jest równy zero.

Przykład: f(x) = 1 / (x - 2). Mianownik to x - 2. Żeby znaleźć, co wykluczyć z dziedziny, rozwiązujemy x - 2 = 0. Otrzymujemy x = 2. Zatem dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 2, czyli D = R \ {2}.

2. Miejsca zerowe funkcji:

Miejsca zerowe to wartości x, dla których wartość funkcji wynosi zero (f(x) = 0). Żeby znaleźć miejsca zerowe funkcji wymiernej, wystarczy sprawdzić, kiedy licznik jest równy zero, pamiętając o warunku, że mianownik nie może być zerowy.

Przykład: f(x) = (x + 1) / (x - 3). Licznik to x + 1. Rozwiązujemy x + 1 = 0. Otrzymujemy x = -1. Sprawdzamy, czy -1 należy do dziedziny (czyli czy -1 nie zeruje mianownika). W tym przypadku -1 - 3 = -4, więc -1 należy do dziedziny. Zatem miejsce zerowe to x = -1.

3. Asymptoty:

Asymptoty to proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina. W funkcjach wymiernych mamy dwa rodzaje asymptot:

• Asymptoty pionowe: Występują w miejscach, gdzie mianownik jest równy zero, a licznik nie jest równy zero. To po prostu liczby, które wykluczyliśmy z dziedziny.
• Asymptoty poziome (lub ukośne): Ich istnienie i równanie zależy od stopnia wielomianów w liczniku i mianowniku. Jeżeli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, to asymptotą poziomą jest y = 0. Jeżeli stopień licznika i mianownika jest równy, to asymptotą poziomą jest y = (współczynnik przy najwyższej potędze x w liczniku) / (współczynnik przy najwyższej potędze x w mianowniku).

Przykład: f(x) = (2x + 1) / (x - 1). Asymptota pionowa: x = 1. Stopień licznika i mianownika jest równy (1). Asymptota pozioma: y = 2 / 1 = 2.

4. Przekształcenia wykresów:

Często na sprawdzianie pojawiają się zadania związane z przesuwaniem wykresów funkcji wymiernych. Podstawowy wykres to np. y = 1/x. Przesunięcia w poziomie i pionie zmieniają równanie funkcji.

Przykład: y = 1 / (x - 2) + 3. To wykres y = 1/x przesunięty o 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w górę.

Pamiętaj, żeby dokładnie analizować wzór funkcji, zwracać uwagę na dziedzinę, miejsca zerowe i asymptoty. Ćwicz rozwiązywanie różnych typów zadań, a sprawdzian "Nowa Era" z funkcji wymiernych na pewno pójdzie dobrze! Powodzenia!