W tym artykule wyjaśnimy, czym są figury podobne, co jest ważnym tematem w matematyce, często sprawdzanym w testach takich jak Sprawdzian Matematyka Z Plusem 3.
Co to są figury podobne?
Dwie figury są podobne, gdy mają taki sam kształt, ale mogą mieć inny rozmiar. Wyobraź sobie, że robisz zdjęcie i potem je powiększasz. Powiększone zdjęcie to figura podobna do oryginalnego zdjęcia. Wszystkie linie na nim są dłuższe w tej samej proporcji.
Must Read
Kluczowe cechy figur podobnych
Aby dwie figury były podobne, muszą spełniać dwa warunki:
- Odpowiadające sobie kąty są równe.
- Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Oznacza to, że stosunek długości odpowiadających sobie boków jest taki sam dla wszystkich par boków. Ten stosunek nazywamy skalą podobieństwa.
Przykład prostokątów
Weźmy dwa prostokąty. Prostokąt A ma boki o długości 2 cm i 4 cm. Prostokąt B ma boki o długości 4 cm i 8 cm.
Sprawdźmy warunki podobieństwa:
1. Kąty: Wszystkie kąty w prostokącie mają 90 stopni. Ponieważ oba prostokąty są prostokątami, ich odpowiadające sobie kąty są równe (wszystkie po 90 stopni).
2. Boki:
- Krótszy bok prostokąta A to 2 cm, a krótszy bok prostokąta B to 4 cm. Stosunek: 4 cm / 2 cm = 2.
- Dłuższy bok prostokąta A to 4 cm, a dłuższy bok prostokąta B to 8 cm. Stosunek: 8 cm / 4 cm = 2.
Stosunek długości odpowiadających sobie boków jest taki sam (wynosi 2). Oznacza to, że boki są proporcjonalne.
Ponieważ oba warunki są spełnione, prostokąt A i prostokąt B są figurami podobnymi. Skala podobieństwa wynosi 2, co oznacza, że prostokąt B jest dwa razy większy od prostokąta A.
Przykład trójkątów
Rozważmy dwa trójkąty:
Trójkąt PQR z bokami: PQ = 3 cm, QR = 4 cm, RP = 5 cm. Kąty: $\angle P = 90^\circ$, $\angle Q \approx 53.1^\circ$, $\angle R \approx 36.9^\circ$.
Trójkąt XYZ z bokami: XY = 6 cm, YZ = 8 cm, ZX = 10 cm. Kąty: $\angle X = 90^\circ$, $\angle Y \approx 53.1^\circ$, $\angle Z \approx 36.9^\circ$.
Sprawdźmy warunki:
1. Kąty:
- $\angle P$ w trójkącie PQR odpowiada $\angle X$ w trójkącie XYZ. Oba mają $90^\circ$.
- $\angle Q$ w trójkącie PQR odpowiada $\angle Y$ w trójkącie XYZ. Oba mają w przybliżeniu $53.1^\circ$.
- $\angle R$ w trójkącie PQR odpowiada $\angle Z$ w trójkącie XYZ. Oba mają w przybliżeniu $36.9^\circ$.
Wszystkie odpowiadające sobie kąty są równe. Trójkąty są podobne.
2. Boki:
- PQ / XY = 3 cm / 6 cm = 1/2
- QR / YZ = 4 cm / 8 cm = 1/2
- RP / ZX = 5 cm / 10 cm = 1/2
Boki są proporcjonalne ze skalą podobieństwa 1/2 (lub 2, jeśli patrzymy z XYZ na PQR).
Dlatego trójkąt PQR jest podobny do trójkąta XYZ.
Podsumowanie
Pamiętaj, że aby figury były podobne, muszą wyglądać tak samo, tylko w innym rozmiarze. Kąty muszą się zgadzać, a boki muszą się wydłużać lub skracać w tej samej, stałej proporcji, zwanej skalą podobieństwa.
