Ciąg Arytmetyczny Sprawdzian Nowa Era

Written by Teresa Romero
Updated at: 05 December 2025

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym różnica między każdym kolejnym wyrazem a wyrazem go poprzedzającym jest stała. Ta stała wartość nazywana jest różnicą ciągu arytmetycznego, oznaczaną zwykle literą 'r'.

Kluczowym elementem charakteryzującym ciąg arytmetyczny jest właśnie ta stała różnica. Oznacza to, że dodając 'r' do dowolnego wyrazu ciągu, otrzymujemy wyraz następny. Matematycznie, dla ciągu arytmetycznego (a_n), zachodzi zależność: a_n+1 = a_n + r, gdzie n jest liczbą naturalną.

Aby zdefiniować ciąg arytmetyczny, wystarczy znać jego pierwszy wyraz (a₁) oraz różnicę (r). Na podstawie tych dwóch wartości można obliczyć dowolny wyraz ciągu. Ogólny wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: a_n = a₁ + (n-1)r.

Must Read

Kolejną ważną własnością ciągu arytmetycznego jest możliwość obliczenia sumy n początkowych wyrazów (S_n). Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to: S_n = (a₁ + a_n) * n / 2. Można go także zapisać jako: S_n = (2a₁ + (n-1)r) * n / 2. Wybór wzoru zależy od tego, które dane są dostępne.

Istnieją dwa typy ciągów arytmetycznych: rosnące i malejące. Ciąg jest rosnący, gdy różnica 'r' jest dodatnia (r > 0). Ciąg jest malejący, gdy różnica 'r' jest ujemna (r < 0). Jeśli r = 0, to wszystkie wyrazy ciągu są równe, a ciąg nazywamy stałym.

Przykład 1: Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym a₁ = 2 i r = 3. Wówczas kolejne wyrazy ciągu to: 2, 5, 8, 11, 14,... Piąty wyraz (a₅) można obliczyć ze wzoru: a₅ = 2 + (5-1) * 3 = 2 + 12 = 14.

Przykład 2: Oblicz sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym a₁ = 1 i r = 2. Najpierw obliczamy a₁₀: a₁₀ = 1 + (10-1) * 2 = 1 + 18 = 19. Następnie obliczamy S₁₀: S₁₀ = (1 + 19) * 10 / 2 = 20 * 5 = 100.

Ciągi arytmetyczne znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach życia. Na przykład, można je wykorzystać do obliczania odsetek prostych, planowania spłat kredytów (gdzie rata zmniejsza się arytmetycznie) czy też w modelowaniu różnych zjawisk liniowych, takich jak zużycie paliwa w czasie jazdy ze stałą prędkością. Mają również znaczenie w zagadnieniach związanych z finansami i ekonomią.