Ze Zbioru Wszystkich Liczb Naturalnych Dwucyfrowych Losujemy Kolejno Dwa Razy

Zajmijmy się prawdopodobieństwem. Rozważmy sytuację, w której losujemy liczby. Konkretnie, losujemy ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych.

Liczby naturalne to liczby całkowite, dodatnie, zaczynające się od 1: 1, 2, 3, itd. Liczby dwucyfrowe to liczby od 10 do 99 włącznie. Zatem, nasz zbiór to {10, 11, 12, ..., 99}. Ile jest tych liczb? Możemy obliczyć to odejmując 9 od 99: 99 - 9 = 90. Mamy więc 90 liczb w naszym zbiorze.

Teraz losujemy kolejno dwa razy. Oznacza to, że wyciągamy jedną liczbę, a potem drugą. Ważne jest, czy losujemy ze zwracaniem, czy bez zwracania. Losowanie ze zwracaniem oznacza, że po wylosowaniu pierwszej liczby, wrzucamy ją z powrotem do zbioru. Losowanie bez zwracania oznacza, że wylosowanej liczby nie wrzucamy z powrotem.

Zacznijmy od losowania ze zwracaniem. Załóżmy, że chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wylosujemy liczbę podzielną przez 5, a za drugim razem liczbę podzielną przez 10. Ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez 5? Są to: 10, 15, 20, ..., 95. Można to obliczyć: 95 - 10 = 85, 85 / 5 = 17. Dodajemy jeden: 17 + 1 = 18. Mamy 18 liczb podzielnych przez 5.

Ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez 10? Są to: 10, 20, 30, ..., 90. To łatwiejsze: 90 / 10 = 9. Mamy 9 takich liczb.

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 5 za pierwszym razem wynosi 18/90. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 10 za drugim razem wynosi 9/90. Ponieważ losujemy ze zwracaniem, te losowania są niezależne. Zatem, prawdopodobieństwo, że oba zdarzenia zajdą wynosi (18/90) * (9/90) = (1/5) * (1/10) = 1/50.

Rozważmy teraz losowanie bez zwracania. Załóżmy, że chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wylosujemy liczbę parzystą, a za drugim razem liczbę nieparzystą. Ile jest liczb parzystych w zbiorze liczb dwucyfrowych? Od 10 do 98 co druga liczba jest parzysta. Czyli (98 - 10) / 2 + 1 = 44 + 1 = 45. Mamy 45 liczb parzystych. Zatem, mamy też 90 - 45 = 45 liczb nieparzystych.

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej za pierwszym razem wynosi 45/90 = 1/2. Jeśli wylosowaliśmy liczbę parzystą, to w zbiorze pozostało 89 liczb, z czego 44 parzyste i 45 nieparzyste. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby nieparzystej za drugim razem wynosi 45/89. Zatem, prawdopodobieństwo, że najpierw wylosujemy liczbę parzystą, a potem nieparzystą, wynosi (45/90) * (45/89) = (1/2) * (45/89) = 45/178.

To są podstawowe przykłady obliczania prawdopodobieństwa w losowaniu liczb. Kluczowe jest zrozumienie definicji losowania ze zwracaniem i bez zwracania, oraz zidentyfikowanie, czy zdarzenia są niezależne.