Wzór Na Liczbę Przekątnych W Wielokącie

Czy wiesz, ile przekątnych ma sześciokąt? A może dwudziestokąt? Nie musisz ich rysować i liczyć! Istnieje na to wzór. Poznajmy go razem.

Zacznijmy od definicji. Przekątna to odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta, które nie są sąsiednie. Czyli nie są połączone bokiem. Na przykład, w kwadracie przekątne łączą przeciwległe wierzchołki.

Zastanówmy się, jak wyprowadzić wzór. Weźmy dowolny wielokąt. Powiedzmy, że ma n wierzchołków. Z każdego wierzchołka możemy poprowadzić odcinki do wszystkich pozostałych wierzchołków. Ale musimy pamiętać o dwóch rzeczach.

Po pierwsze, nie możemy połączyć wierzchołka z samym sobą. To nie tworzy żadnego odcinka. Po drugie, nie możemy połączyć wierzchołka z jego sąsiadami. Takie połączenia dają nam boki wielokąta, a nie przekątne.

Zatem, z każdego wierzchołka możemy poprowadzić (n - 3) przekątnych. Dlaczego (n - 3)? Odejmujemy 1 (ten sam wierzchołek) i 2 (sąsiednie wierzchołki).

Mamy n wierzchołków. Każdy z nich ma (n - 3) przekątne. Czyli moglibyśmy pomyśleć, że liczba przekątnych to n * (n - 3). Ale musimy uważać! Każda przekątna została policzona dwa razy.

Na przykład, odcinek łączący wierzchołek A z wierzchołkiem C, to ta sama przekątna, co odcinek łączący wierzchołek C z wierzchołkiem A. Dlatego musimy podzielić wynik przez 2.

I gotowe! Mamy wzór na liczbę przekątnych w wielokącie o n wierzchołkach: Liczba przekątnych = n * (n - 3) / 2.

Sprawdźmy to na przykładach. Ile przekątnych ma kwadrat? Kwadrat ma 4 wierzchołki (n = 4). Zatem liczba przekątnych to 4 * (4 - 3) / 2 = 4 * 1 / 2 = 2. Zgadza się! Kwadrat ma dwie przekątne.

A ile przekątnych ma sześciokąt? Sześciokąt ma 6 wierzchołków (n = 6). Zatem liczba przekątnych to 6 * (6 - 3) / 2 = 6 * 3 / 2 = 9. Spróbuj narysować sześciokąt i policzyć jego przekątne! Zobaczysz, że jest ich 9.

Wzór ten jest bardzo przydatny. Możemy szybko obliczyć liczbę przekątnych dla dowolnego wielokąta. Bez rysowania i liczenia! Nawet dla wielokątów o dużej liczbie boków. Na przykład dwudziestokąt (n = 20) ma 20 * (20 - 3) / 2 = 20 * 17 / 2 = 170 przekątnych.

Pamiętaj, że ten wzór działa tylko dla wielokątów wypukłych. Wielokąt wypukły to taki, w którym każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy niż 180 stopni. Inaczej mówiąc, wielokąt jest wypukły, jeśli odcinek łączący dowolne dwa jego punkty leży w całości wewnątrz wielokąta.

Teraz, gdy znasz wzór na liczbę przekątnych, możesz zaimponować znajomym swoją wiedzą matematyczną! Powodzenia w rozwiązywaniu zadań z geometrii!