Wskaż Ułamek Który Ma Rozwinięcie Dziesiętne Nieskończone

Szukając ułamka z rozwinięciem dziesiętnym nieskończonym, musimy zrozumieć, co to w ogóle oznacza. Ułamek, po zamianie na postać dziesiętną, daje rozwinięcie dziesiętne nieskończone, jeżeli cyfry po przecinku nie kończą się, ale powtarzają się w określony sposób (rozwinięcie okresowe) lub są całkowicie losowe (rozwinięcie nieokresowe, co zazwyczaj dotyczy liczb niewymiernych, ale skupmy się na ułamkach).

Jak zatem rozpoznać taki ułamek? Najważniejszy jest mianownik ułamka (dolna liczba w ułamku). Ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne skończone, jeżeli jego mianownik po skróceniu ułamka do najprostszej postaci, ma w rozkładzie na czynniki pierwsze tylko liczby 2 i 5. Innymi słowy, mianownik musi być postaci 2ⁿ * 5^m, gdzie n i m są liczbami naturalnymi.

Krok 1: Skróć ułamek do najprostszej postaci. Na przykład, ułamek 6/8 możemy skrócić do 3/4. Skracanie jest bardzo ważne, ponieważ czasami wydaje się, że ułamek ma rozwinięcie nieskończone, a w rzeczywistości ma skończone.

Krok 2: Sprawdź rozkład na czynniki pierwsze mianownika. Weźmy ułamek 3/4. Mianownik to 4. Rozkład na czynniki pierwsze 4 to 2 * 2, czyli 2². Mamy tylko liczbę 2 w rozkładzie. Zatem ułamek 3/4 ma rozwinięcie dziesiętne skończone (3/4 = 0.75).

Teraz rozważmy ułamek 1/3. Mianownik to 3. Rozkład na czynniki pierwsze 3 to po prostu 3. Mamy liczbę 3, która nie jest ani 2, ani 5. Zatem ułamek 1/3 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone (1/3 = 0.333...).

Kolejny przykład: 5/6. Mianownik to 6. Rozkład na czynniki pierwsze 6 to 2 * 3. Mamy liczbę 2 i 3. Ponieważ występuje liczba 3 (inna niż 2 i 5), ułamek 5/6 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone (5/6 = 0.8333...).

Jeszcze jeden przykład: 7/25. Mianownik to 25. Rozkład na czynniki pierwsze 25 to 5 * 5, czyli 5². Mamy tylko liczbę 5 w rozkładzie. Zatem ułamek 7/25 ma rozwinięcie dziesiętne skończone (7/25 = 0.28).

Podsumowując: Jeżeli po skróceniu ułamka, w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika występują tylko liczby 2 i/lub 5, to ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone. Jeżeli występuje jakakolwiek inna liczba pierwsza (np. 3, 7, 11, itd.), to ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.

Dlaczego to jest ważne? * Przybliżenia w programowaniu: W programowaniu często używamy liczb zmiennoprzecinkowych, które mają ograniczoną precyzję. Ułamki z rozwinięciem nieskończonym muszą być przybliżane, co może prowadzić do błędów zaokrągleń. * Analiza algorytmów: Rozumienie, które ułamki mają rozwinięcia skończone, a które nieskończone, pomaga w analizie dokładności obliczeń wykonywanych przez algorytmy.