Dowodzimy, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: x2 + 1 ≥ 2x. Kluczowym elementem dowodu jest manipulacja algebraiczna, która doprowadzi nas do oczywistej prawdy, potwierdzającej daną nierówność.
Aby udowodnić nierówność x2 + 1 ≥ 2x, przekształcamy ją algebraicznie. Odejmowanie 2x od obu stron daje nam: x2 - 2x + 1 ≥ 0. Lewa strona nierówności przypomina wzór skróconego mnożenia.
Wyrażenie x2 - 2x + 1 możemy zapisać jako kwadrat dwumianu: (x - 1)2. Zatem nasza nierówność przyjmuje postać: (x - 1)2 ≥ 0. To właśnie ten moment jest kluczowy w dowodzie.
Must Read
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny. Oznacza to, że niezależnie od wartości x, wyrażenie (x - 1)2 będzie zawsze większe lub równe zero. Jest to fundamentalna właściwość liczb rzeczywistych.
Ponieważ (x - 1)2 ≥ 0 jest prawdą dla każdego x, a nasza początkowa nierówność x2 + 1 ≥ 2x jest z nią równoważna (przez proste przekształcenia algebraiczne), możemy stwierdzić, że nierówność x2 + 1 ≥ 2x jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x. Dowód został zakończony.
Przykład 1: Niech x = 0. Wtedy 02 + 1 = 1, a 2 * 0 = 0. Rzeczywiście, 1 ≥ 0.
Przykład 2: Niech x = 5. Wtedy 52 + 1 = 26, a 2 * 5 = 10. Rzeczywiście, 26 ≥ 10.
Zastosowanie w praktyce: Nierówności tego typu są fundamentalne w optymalizacji, gdzie poszukujemy minimów i maksimów funkcji. Rozważana nierówność pokazuje, że funkcja kwadratowa x2 + 1 jest zawsze większa lub równa liniowej funkcji 2x, co może być użyteczne w analizie algorytmów i systemów.
