Hej! Spróbujmy rozwiązać pewną nierówność kwadratową. Nie martw się, brzmi groźnie, ale zaraz zobaczymy, że to nic strasznego. Rozwiążemy nierówność: 2x² - 4x > x + 3 oraz x ≠ 2. To nasze zadanie.
Zacznijmy od uporządkowania nierówności. Chcemy mieć wszystko po jednej stronie, a po drugiej zero. Przenosimy więc x i 3 na lewą stronę. Otrzymujemy: 2x² - 4x - x - 3 > 0.
Teraz redukujemy wyrazy podobne. Mamy: 2x² - 5x - 3 > 0. Gotowe! To teraz jest nasza nierówność.
Must Read
Czas na obliczenie delty (Δ). Delta to takie magiczne narzędzie, które pomaga nam znaleźć pierwiastki równania kwadratowego. Wzór na deltę to: Δ = b² - 4ac.
W naszej nierówności: a = 2, b = -5, c = -3. Podstawiamy te wartości do wzoru. Δ = (-5)² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49. Delta wynosi 49.
Skoro delta jest większa od zera, to mamy dwa różne pierwiastki. Obliczamy je za pomocą wzorów: x₁ = (-b - √Δ) / 2a oraz x₂ = (-b + √Δ) / 2a. Pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy z delty to √Δ.
Podstawiamy wartości do wzorów na pierwiastki. x₁ = (5 - √49) / (2 * 2) = (5 - 7) / 4 = -2/4 = -1/2. x₂ = (5 + √49) / (2 * 2) = (5 + 7) / 4 = 12/4 = 3. Mamy dwa pierwiastki: x₁ = -1/2 i x₂ = 3.
![Zad. 3 [2p] Rozwiąż nierówność $4x^2 + 4x | StudyX](https://media.studyxapp.com/us/ec29de6b/b1719b902ee44eb28779439a68269130.jpg)
Teraz narysujemy oś liczbową. Zaznaczamy na niej nasze pierwiastki: -1/2 i 3. Oś liczbową dzielimy w ten sposób na trzy przedziały: (-∞, -1/2), (-1/2, 3) oraz (3, +∞).
Sprawdzimy znak wyrażenia 2x² - 5x - 3 w każdym z tych przedziałów. Wybieramy po jednej liczbie z każdego przedziału. Na przykład: -1 (z przedziału (-∞, -1/2)), 0 (z przedziału (-1/2, 3)) i 4 (z przedziału (3, +∞)).
Podstawiamy te liczby do nierówności 2x² - 5x - 3. Dla x = -1 mamy: 2(-1)² - 5(-1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 > 0. Dla x = 0 mamy: 2(0)² - 5(0) - 3 = -3 < 0. Dla x = 4 mamy: 2(4)² - 5(4) - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 > 0.
Interesują nas przedziały, w których wyrażenie jest większe od zera (> 0). Czyli te, gdzie wynik jest dodatni. Są to przedziały: (-∞, -1/2) oraz (3, +∞).
Musimy jeszcze uwzględnić warunek x ≠ 2. Ponieważ 2 leży w przedziale (-1/2, 3), to nie wpływa to na nasze rozwiązanie. Nasz zbiór rozwiązań to (-∞, -1/2) ∪ (3, +∞). Gotowe!
