Zajmijmy się okręgiem, którego środek znajduje się w punkcie S o współrzędnych (3, 7). Oznaczamy to jako S = (3, 7). Punkt S jest bardzo ważny, ponieważ to on definiuje centralne położenie naszego okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej. To od niego będziemy mierzyć wszystkie odległości do punktów leżących na okręgu.
Czym w ogóle jest okrąg? Okrąg to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które znajdują się w tej samej odległości od jednego, ustalonego punktu. Ten ustalony punkt to właśnie środek okręgu, w naszym przypadku punkt S = (3, 7). Odległość od środka do dowolnego punktu na okręgu nazywamy promieniem.
Oznaczmy promień naszego okręgu jako 'r'. Jeżeli weźmiemy dowolny punkt P (o współrzędnych x, y) leżący na okręgu, to odległość między punktem P a środkiem S musi być równa 'r'. Jak obliczyć tę odległość? Używamy do tego wzoru na odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie.
Must Read
Wzór na odległość między dwoma punktami A(x1, y1) i B(x2, y2) to: √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). W naszym przypadku, punkt A to S(3, 7) a punkt B to P(x, y). Wstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy: √((x - 3)2 + (y - 7)2).
Skoro ta odległość ma być równa promieniowi 'r', to możemy zapisać równanie okręgu o środku S(3, 7) i promieniu 'r': √((x - 3)2 + (y - 7)2) = r. Aby pozbyć się pierwiastka, podnosimy obie strony równania do kwadratu. Otrzymujemy wtedy: (x - 3)2 + (y - 7)2 = r2.
To właśnie jest równanie okręgu o środku w punkcie S(3, 7) i promieniu 'r'. Równanie to opisuje wszystkie punkty (x, y), które leżą na naszym okręgu. Zauważmy, że wartość promienia 'r' ma ogromny wpływ na wygląd okręgu – im większy promień, tym większy okrąg.
Przykład: Załóżmy, że promień naszego okręgu wynosi 5, czyli r = 5. Wtedy równanie okręgu przyjmuje postać: (x - 3)2 + (y - 7)2 = 52, czyli (x - 3)2 + (y - 7)2 = 25. To równanie opisuje konkretny okrąg o środku w S(3, 7) i promieniu 5.
Inny przykład: Co, jeśli chcemy sprawdzić, czy punkt P(6, 11) leży na okręgu o środku S(3, 7) i promieniu 5? Wstawiamy współrzędne punktu P do równania okręgu: (6 - 3)2 + (11 - 7)2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Ponieważ otrzymaliśmy 25, a więc wartość równą r2, punkt P(6, 11) leży na tym okręgu.
Równanie okręgu znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, od geometrii analitycznej po grafikę komputerową i fizykę. Pozwala nam opisywać i analizować kształty koliste w sposób matematyczny. Znając środek i promień okręgu, możemy precyzyjnie określić położenie każdego punktu na okręgu.
