Zajmijmy się wyrażeniem "Jeżeli 0 < α < 90 oraz tg α = 2sin α". Spróbujmy zrozumieć, co ono oznacza i jakie wnioski możemy z niego wyciągnąć. Skupimy się na zrozumieniu relacji między funkcjami trygonometrycznymi.
Przede wszystkim, 0 < α < 90 oznacza, że kąt α jest kątem ostrym. Innymi słowy, kąt α leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. To ważna informacja, ponieważ w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje trygonometryczne (sinus, cosinus, tangens, cotangens) są dodatnie. To ułatwi nam analizę.
Kolejny element to tg α = 2sin α. To równanie łączy tangens i sinus kąta α. Pamiętajmy, że tangens kąta to stosunek sinusa do cosinusa tego kąta: tg α = sin α / cos α. Podstawiając to do naszego równania, otrzymujemy: sin α / cos α = 2sin α.
Must Read
Teraz możemy zacząć rozwiązywać to równanie. Przenieśmy wszystko na jedną stronę: sin α / cos α - 2sin α = 0. Wyłączmy sin α przed nawias: sin α (1 / cos α - 2) = 0. Otrzymujemy iloczyn dwóch czynników, który jest równy zero.
Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem albo sin α = 0, albo (1 / cos α - 2) = 0. Rozważmy pierwszy przypadek: sin α = 0. W przedziale 0 < α < 90, sinus kąta jest równy zero tylko dla kąta 0. Ale α musi być większe od zera, więc ten przypadek odpada.
Przejdźmy do drugiego przypadku: 1 / cos α - 2 = 0. Przekształćmy to równanie: 1 / cos α = 2. Teraz odwróćmy obie strony: cos α = 1/2. Musimy znaleźć kąt α, którego cosinus jest równy 1/2.
Znamy wartości cosinusów dla kątów charakterystycznych. Cosinus kąta 60 stopni (π/3 radiana) jest równy 1/2. Zatem, rozwiązaniem naszego równania jest α = 60°. Sprawdźmy, czy to rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Jeżeli α = 60°, to tg α = tg 60° = √3 oraz sin α = sin 60° = √3 / 2. Sprawdźmy, czy tg α = 2sin α. Podstawiając wartości, otrzymujemy: √3 = 2 * (√3 / 2), czyli √3 = √3. Równanie jest spełnione.
Podsumowując, jeżeli 0 < α < 90 oraz tg α = 2sin α, to α = 60°. Rozwiązaliśmy równanie trygonometryczne, wykorzystując definicje funkcji trygonometrycznych i znajomość ich wartości dla kątów charakterystycznych. Ważne było również uwzględnienie zakresu, w jakim znajduje się kąt α.
