Funkcja kwadratowa to funkcja postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c to liczby, a a ≠ 0. Jej wykres to parabola.
Chcemy nauczyć się, jak obliczyć najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w danym przedziale. Przedział to po prostu odcinek osi x, w którym szukamy najmniejszej wartości funkcji.
Krok 1: Znajdź wierzchołek paraboli.
Must Read
Wierzchołek to najważniejszy punkt paraboli. Jego współrzędne to (p, q), gdzie:
p = -b / 2a
q = f(p) (czyli wartość funkcji dla x = p)
Przykład: Mamy funkcję f(x) = x² - 4x + 3.
a = 1, b = -4, c = 3.
p = -(-4) / (2 * 1) = 2
q = f(2) = (2)² - 4 * 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
Wierzchołek paraboli to (2, -1).
Krok 2: Sprawdź, czy wierzchołek należy do przedziału.
Jeżeli pierwsza współrzędna wierzchołka (czyli p) należy do danego przedziału, to wartość funkcji w wierzchołku (czyli q) jest potencjalną najmniejszą wartością.
Przykład: Szukamy najmniejszej wartości funkcji f(x) = x² - 4x + 3 w przedziale <1, 3>.
Wierzchołek to (2, -1), a p = 2. Liczba 2 należy do przedziału <1, 3>.
Krok 3: Oblicz wartości funkcji na krańcach przedziału.
Jeśli wierzchołek należy do przedziału, obliczamy wartości funkcji na krańcach przedziału. Jeśli wierzchołek nie należy do przedziału, musimy sprawdzić wartości funkcji na krańcach.
Przykład: Dla przedziału <1, 3>:
f(1) = (1)² - 4 * 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0
f(3) = (3)² - 4 * 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0
Krok 4: Porównaj wartości.
Porównujemy wartość funkcji w wierzchołku (jeśli należy do przedziału) z wartościami na krańcach przedziału. Najmniejsza z tych wartości to najmniejsza wartość funkcji w danym przedziale.
Przykład: Mamy wartości: f(1) = 0, f(3) = 0, q = -1.
Najmniejsza z tych wartości to -1.
Odpowiedź: Najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² - 4x + 3 w przedziale <1, 3> to -1.
Co jeśli wierzchołek nie należy do przedziału? Wtedy porównujemy tylko wartości na krańcach przedziału. Najmniejsza z nich jest najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale.
