Ile Liczb Całkowitych X Spełnia Nierówność

Zacznijmy od najważniejszego: definicji. Ile liczb całkowitych spełnia daną nierówność? Oznacza to, że chcemy policzyć wszystkie liczby całkowite (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …), które po podstawieniu do nierówności sprawią, że nierówność będzie prawdziwa. Kluczem jest zrozumienie, co oznacza, że nierówność jest spełniona.

Pierwszy krok to rozwiązanie nierówności. Proces jest bardzo podobny do rozwiązywania równań, ale trzeba pamiętać o jednej ważnej różnicy: mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczbę ujemną zmienia znak nierówności na przeciwny! Na przykład, jeśli mamy nierówność -x > 2, to dzieląc obie strony przez -1 (czyli mnożąc przez -1) otrzymujemy x < -2.

Przykład 1: Rozważmy nierówność x < 5. Jakie liczby całkowite ją spełniają? To wszystkie liczby całkowite mniejsze od 5. Są to liczby: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. W tym przypadku, nie ma skończonej liczby rozwiązań. Jest ich nieskończenie wiele.

Przykład 2: Rozważmy nierówność x > -3. Jakie liczby całkowite ją spełniają? To wszystkie liczby całkowite większe od -3. Są to liczby: -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Przykład 3: Teraz coś bardziej konkretnego: -2 ≤ x < 3. Ta nierówność oznacza, że szukamy liczb całkowitych, które są większe lub równe -2 i jednocześnie mniejsze od 3. Wypiszmy te liczby: -2, -1, 0, 1, 2. W tym przypadku liczba rozwiązań jest skończona i wynosi 5.

Przykład 4: Załóżmy, że mamy nierówność |x| ≤ 2. Oznacza ona, że odległość liczby x od zera jest mniejsza lub równa 2. Jakie liczby całkowite to spełniają? Są to: -2, -1, 0, 1, 2. Znowu, liczba rozwiązań jest skończona (5).

Kiedy mamy już rozwiązanie nierówności (czyli wiemy, jakie liczby spełniają nierówność), wystarczy policzyć liczby całkowite w tym przedziale. Należy uważnie przyjrzeć się znakom nierówności: czy występuje znak ≤ (mniejsze lub równe) lub ≥ (większe lub równe), czy tylko < (mniejsze) lub > (większe). Znak "równe" oznacza, że dany punkt należy do zbioru rozwiązań. Brak znaku "równe" oznacza, że dany punkt nie należy do zbioru rozwiązań.

Praktyczne zastosowania? Wyobraźmy sobie, że szukamy wszystkich osób w wieku od 18 do 65 lat, które mogą wziąć udział w wyborach. Wiek osoby, x, musi spełniać nierówność 18 ≤ x ≤ 65. Zliczanie osób spełniających tą nierówność w danym społeczeństwie to proste zastosowanie liczenia rozwiązań nierówności w zbiorze liczb całkowitych. Inny przykład: określanie zakresu temperatur, w których dane urządzenie będzie działać prawidłowo. Nierówności są wszechobecne i umiejętność ich rozwiązywania przydaje się w wielu dziedzinach życia.