Graniastosłupy i ostrosłupy to podstawowe bryły w geometrii przestrzennej. W klasie 8 poznajemy wzory potrzebne do obliczania ich pól powierzchni i objętości. Najpierw omówimy graniastosłupy, a następnie ostrosłupy.
Graniastosłup to bryła, której podstawą jest wielokąt, a ściany boczne są równoległobokami. Może być prosty (ściany boczne są prostokątami) lub pochyły.
1. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
Must Read
Wzór ogólny: Pc = 2 * Pp + Pb, gdzie:
- Pc to pole powierzchni całkowitej,
- Pp to pole podstawy,
- Pb to pole powierzchni bocznej.
Przykład: Graniastosłup prosty trójkątny ma w podstawie trójkąt o podstawie 4 cm i wysokości 3 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
- Pp = (4 * 3) / 2 = 6 cm²
- Obwód podstawy = 4 + 3 + 5 = 12 cm (zakładamy, że trójkąt jest prostokątny)
- Pb = Obwód podstawy * Wysokość = 12 * 5 = 60 cm²
- Pc = 2 * 6 + 60 = 72 cm²
2. Objętość graniastosłupa:
Wzór: V = Pp * H, gdzie:
- V to objętość,
- Pp to pole podstawy,
- H to wysokość graniastosłupa.
Przykład: Użyjmy danych z poprzedniego przykładu. Oblicz objętość.
- Pp = 6 cm²
- H = 5 cm
- V = 6 * 5 = 30 cm³
Ostrosłup to bryła, której podstawą jest wielokąt, a ściany boczne są trójkątami, które zbiegają się w jednym punkcie (wierzchołku).
1. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:
Wzór: Pc = Pp + Pb, gdzie:
- Pc to pole powierzchni całkowitej,
- Pp to pole podstawy,
- Pb to pole powierzchni bocznej.
Przykład: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat o boku 4 cm. Wysokość ściany bocznej (wysokość trójkąta) wynosi 6 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
- Pp = 4 * 4 = 16 cm²
- Pb = 4 * (1/2 * 4 * 6) = 48 cm² (bo są 4 identyczne trójkąty)
- Pc = 16 + 48 = 64 cm²
2. Objętość ostrosłupa:
Wzór: V = (1/3) * Pp * H, gdzie:
- V to objętość,
- Pp to pole podstawy,
- H to wysokość ostrosłupa (od wierzchołka do środka podstawy).
Przykład: Załóżmy, że w poprzednim przykładzie wysokość ostrosłupa wynosi 5 cm. Oblicz objętość.
- Pp = 16 cm²
- H = 5 cm
- V = (1/3) * 16 * 5 = 80/3 cm³ ≈ 26.67 cm³
Zastosowanie praktyczne: Znajomość wzorów na pola i objętości graniastosłupów i ostrosłupów jest ważna w architekturze (np. przy projektowaniu dachów) oraz w budownictwie (np. przy obliczaniu ilości materiałów potrzebnych do budowy fundamentów w kształcie graniastosłupa). Pomaga również w problemach związanych z pakowaniem i przechowywaniem różnych przedmiotów.
