Dany Jest Ciąg Arytmetyczny Pięćdziesiąty Wyraz Tego Ciągu Jest Równy

Zacznijmy od podstaw. Czym właściwie jest ciąg arytmetyczny? Jest to sekwencja liczb, w której różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Tę stałą różnicę nazywamy różnicą ciągu, często oznaczaną literą 'r'.

Wyobraźmy sobie, że mamy ciąg: 2, 4, 6, 8, 10... Widzimy, że każdy następny wyraz jest o 2 większy od poprzedniego. Zatem różnica 'r' wynosi tutaj 2. Jest to prosty przykład ciągu arytmetycznego.

Teraz, jak znaleźć konkretny wyraz w ciągu arytmetycznym, na przykład pięćdziesiąty? Do tego celu służy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an = a1 + (n - 1) * r. Gdzie 'an' to n-ty wyraz, 'a1' to pierwszy wyraz ciągu, 'n' to numer wyrazu, a 'r' to różnica ciągu.

Załóżmy, że mamy ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz (a1) wynosi 3, a różnica (r) wynosi 5. Chcemy obliczyć pięćdziesiąty wyraz (a50). Używamy wzoru: a50 = 3 + (50 - 1) * 5.

Wykonajmy obliczenia. Najpierw odejmujemy 1 od 50, co daje 49. Następnie mnożymy 49 przez 5, co daje 245. Na koniec dodajemy 3, więc a50 = 3 + 245 = 248. Zatem pięćdziesiąty wyraz tego ciągu wynosi 248.

Rozważmy inny przykład. Mamy ciąg, w którym a1 = -2, a r = 0.5. Znów szukamy a50. Zatem a50 = -2 + (50 - 1) * 0.5. Obliczamy: a50 = -2 + 49 * 0.5 = -2 + 24.5 = 22.5.

Dlaczego to jest przydatne? Ciągi arytmetyczne pojawiają się w wielu sytuacjach praktycznych. Można je wykorzystać do modelowania wzrostu liniowego, obliczania spłaty kredytu (gdzie rata jest stała), czy prognozowania przyszłych wartości na podstawie trendów.

Na przykład, jeśli wiemy, że ktoś zaczyna pracę z pensją 3000 zł i co roku dostaje podwyżkę o 200 zł, możemy użyć ciągu arytmetycznego, żeby obliczyć, ile będzie zarabiał za 10 lat. Wtedy a1 = 3000, r = 200, a n = 11 (bo liczymy rok początkowy).

Spróbujmy rozwiązać to zadanie. a11 = 3000 + (11 - 1) * 200 = 3000 + 10 * 200 = 3000 + 2000 = 5000. Po 10 latach dana osoba będzie zarabiała 5000 zł.

Podsumowując, ciąg arytmetyczny to sekwencja liczb o stałej różnicy. Wzór na n-ty wyraz pozwala nam obliczyć dowolny wyraz w tym ciągu. Zrozumienie tego konceptu i umiejętność stosowania wzoru przydaje się w wielu praktycznych sytuacjach.