Czternasty Wyraz Ciągu Arytmetycznego Jest Równy 8

Hej! Zastanawiasz się, co to znaczy, że czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8? Spokojnie, zaraz wszystko wytłumaczę w prosty sposób. Pomyśl o ciągu arytmetycznym jak o regularnych schodkach.

Wyobraź sobie schody. Każdy schodek jest wyżej od poprzedniego o dokładnie tyle samo. To jest właśnie idea ciągu arytmetycznego. Różnica wysokości między każdym schodkiem jest stała – nazywamy ją różnicą ciągu (r).

Każdy schodek ma swój numer. Pierwszy schodek, drugi schodek, i tak dalej. Numer schodka to jego indeks w ciągu. Czyli czternasty schodek, to po prostu wyraz ciągu o indeksie 14. Wiemy, że ten czternasty schodek znajduje się na wysokości 8 (jednostek).

Teraz, jak to zapisać matematycznie? Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (oznaczmy go jako a_n) możemy opisać wzorem: a_n = a₁ + (n - 1) * r. Gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

W naszym przypadku wiemy, że a₁₄ = 8. Czyli, stosując wzór: 8 = a₁ + (14 - 1) * r. To znaczy, że 8 = a₁ + 13 * r. To jest jedno równanie.

Pomyśl o tym jak o równaniu, które opisuje zależność między pierwszym schodkiem (a₁) a różnicą wysokości między schodkami (r). Samo to równanie nie da nam konkretnych wartości a₁ i r. Potrzebujemy więcej informacji, np. wartość innego wyrazu ciągu.

Załóżmy, że wiemy dodatkowo, że pierwszy wyraz ciągu (a₁) jest równy 2. Wtedy możemy to wstawić do naszego równania: 8 = 2 + 13 * r. Teraz możemy obliczyć r.

Odejmujemy 2 od obu stron równania: 6 = 13 * r. Dzielimy obie strony przez 13: r = 6/13. Zatem różnica ciągu wynosi 6/13.

Możemy teraz wyobrazić sobie, że zaczynamy na wysokości 2 (pierwszy schodek) i za każdym razem wchodzimy o 6/13 jednostki wyżej. Po trzynastu takich krokach (schodkach) będziemy na wysokości 8, czyli na czternastym schodku.

Inny przykład: załóżmy, że piąty wyraz ciągu (a₅) jest równy 5. Czyli mamy dwa równania: a₁ + 13r = 8 i a₁ + 4r = 5. Możemy rozwiązać ten układ równań, aby znaleźć a₁ i r.

Odejmując drugie równanie od pierwszego, otrzymujemy: 9r = 3, czyli r = 1/3. Teraz podstawiamy r = 1/3 do jednego z równań, np. a₁ + 4 * (1/3) = 5. Stąd a₁ = 5 - 4/3 = 11/3.

Podsumowując, informacja, że czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, to jedno równanie, które opisuje zależność między pierwszym wyrazem a różnicą ciągu. Potrzebujemy dodatkowych informacji (np. wartość innego wyrazu), żeby jednoznacznie określić cały ciąg.