Sistema De Ecuaciones Lineales Ejercicios Resueltos

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales que comparten las mismas variables. La solución del sistema es el conjunto de valores para las variables que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar esos valores. Hay varios métodos para hacerlo, aquí explicaremos dos comunes: sustitución y eliminación (o reducción).

Método de Sustitución:

1. Despejar: Elige una ecuación y despeja una de las variables en términos de las otras. Por ejemplo, en la ecuación x + y = 5, podemos despejar x: x = 5 - y.

2. Sustituir: Sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. Si tenemos otro ecuación, como 2x - y = 1, reemplazamos x con (5 - y): 2(5 - y) - y = 1.

3. Resolver: Resuelve la ecuación resultante para la variable restante. En nuestro ejemplo: 10 - 2y - y = 1, que se simplifica a -3y = -9, por lo tanto y = 3.

4. Encontrar la otra variable: Sustituye el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales o en la expresión que despejaste al principio para encontrar el valor de la otra variable. Usando x = 5 - y, con y = 3, obtenemos x = 5 - 3 = 2.

5. Solución: La solución es x = 2 y y = 3. Podemos verificar sustituyendo estos valores en ambas ecuaciones originales para confirmar que son correctos.

Método de Eliminación (o Reducción):

1. Multiplicar (si es necesario): Multiplica una o ambas ecuaciones por constantes de modo que los coeficientes de una de las variables sean iguales (o opuestos) en ambas ecuaciones. Por ejemplo, para eliminar x en el sistema x + y = 5 y 2x - y = 1, podemos multiplicar la primera ecuación por -2: -2x - 2y = -10.

2. Sumar o Restar: Suma o resta las ecuaciones para eliminar una de las variables. Sumando -2x - 2y = -10 y 2x - y = 1, obtenemos -3y = -9.

3. Resolver: Resuelve la ecuación resultante para la variable restante. En nuestro ejemplo, y = 3.

4. Encontrar la otra variable: Sustituye el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable. Usando x + y = 5 y y = 3, obtenemos x + 3 = 5, por lo tanto x = 2.

5. Solución: La solución es x = 2 y y = 3. Verificamos de la misma manera que en el método de sustitución.

Recuerda, un sistema de ecuaciones lineales puede tener una única solución, infinitas soluciones (si las ecuaciones representan la misma línea) o ninguna solución (si las líneas son paralelas).