Propiedades De La Sumatoria Ejercicios Resueltos

Vamos a explorar la resolución de ejercicios sobre las propiedades de la sumatoria.

Entendiendo la Sumatoria

La sumatoria es una notación para expresar la suma de una secuencia de números. Se representa con el símbolo Σ. Los límites inferior y superior de la sumatoria indican el rango de los índices. La expresión a la derecha de Σ es el término que se suma.

Ejemplo: Σ_i=1ⁿ i significa sumar todos los números desde 1 hasta n.

Propiedad 1: Suma de una Constante

Esta propiedad establece que la sumatoria de una constante c desde i=1 hasta n es igual a n veces la constante.

Σ_i=1ⁿ c = nc

Ejercicio: Calcula Σ_i=1⁵ 3.

Solución: Aplicamos la propiedad. n=5, c=3. Por lo tanto, Σ_i=1⁵ 3 = 5 * 3 = 15.

Propiedad 2: Multiplicación por una Constante

Esta propiedad dice que una constante multiplicada por una sumatoria es igual a la sumatoria de la constante multiplicada por cada término.

Σ_i=1ⁿ (c * a_i) = c * Σ_i=1ⁿ a_i

Ejercicio: Calcula Σ_i=1⁴ (2i).

Solución: Sacamos la constante 2 de la sumatoria: 2 * Σ_i=1⁴ i. Ahora, calculamos Σ_i=1⁴ i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Finalmente, multiplicamos por 2: 2 * 10 = 20.

Propiedad 3: Suma de Sumas

La sumatoria de la suma de dos o más términos es igual a la suma de las sumatorias de cada término individualmente.

Σ_i=1ⁿ (a_i + b_i) = Σ_i=1ⁿ a_i + Σ_i=1ⁿ b_i

Ejercicio: Calcula Σ_i=1³ (i + i²).

Solución: Separamos la sumatoria: Σ_i=1³ i + Σ_i=1³ i². Calculamos Σ_i=1³ i = 1 + 2 + 3 = 6. Calculamos Σ_i=1³ i² = 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14. Finalmente, sumamos los resultados: 6 + 14 = 20.

Propiedad 4: Resta de Sumas

La sumatoria de la resta de dos términos es igual a la resta de las sumatorias de cada término individualmente.

Σ_i=1ⁿ (a_i - b_i) = Σ_i=1ⁿ a_i - Σ_i=1ⁿ b_i

Ejercicio: Calcula Σ_i=1² (i² - i).

Solución: Separamos la sumatoria: Σ_i=1² i² - Σ_i=1² i. Calculamos Σ_i=1² i² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5. Calculamos Σ_i=1² i = 1 + 2 = 3. Finalmente, restamos los resultados: 5 - 3 = 2.

Ejercicios Adicionales

Calcula Σ_i=1⁶ 5i.

Calcula Σ_i=1³ (2i + 1).

Calcula Σ_i=1⁴ (i³ - 2i).

Recuerda aplicar las propiedades para simplificar cada ejercicio. Descompón la sumatoria en partes más pequeñas si es necesario. La práctica es clave para dominar las propiedades de la sumatoria.