Proceso De Ortonormalización De Gram Schmidt

El proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt es un método para transformar un conjunto de vectores linealmente independientes en un conjunto ortonormal que genera el mismo subespacio vectorial.

Paso 1: Obtener un conjunto de vectores linealmente independientes

Inicialmente, necesitas un conjunto de vectores linealmente independientes. Llamémoslos v₁, v₂, ..., v_n.

Es fundamental verificar que estos vectores sean linealmente independientes. Si no lo son, el proceso fallará. Ejemplo: v₁ = (1, 0), v₂ = (0, 1), v₃ = (1, 1). En este caso, v₃ es una combinación lineal de v₁ y v₂, así que no son linealmente independientes.

Consideremos un ejemplo válido: v₁ = (1, 0, 0), v₂ = (1, 1, 0), v₃ = (1, 1, 1).

Paso 2: Ortogonalización

El siguiente paso es ortogonalizar los vectores. Esto significa crear un nuevo conjunto de vectores que sean perpendiculares entre sí.

Definimos el primer vector ortogonal u₁ como igual al primer vector original: u₁ = v₁. En nuestro ejemplo, u₁ = (1, 0, 0).

Para obtener el segundo vector ortogonal u₂, restamos a v₂ su proyección sobre u₁: u₂ = v₂ - proj_u1(v₂).

La proyección de v₂ sobre u₁ se calcula como: proj_u1(v₂) = ((v₂ · u₁) / (u₁ · u₁)) * u₁. En nuestro ejemplo: ((1, 1, 0) · (1, 0, 0)) / ((1, 0, 0) · (1, 0, 0)) * (1, 0, 0) = (1 / 1) * (1, 0, 0) = (1, 0, 0).

Por lo tanto, u₂ = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0).

Para obtener el tercer vector ortogonal u₃, restamos a v₃ sus proyecciones sobre u₁ y u₂: u₃ = v₃ - proj_u1(v₃) - proj_u2(v₃).

Calculamos las proyecciones: proj_u1(v₃) = ((1, 1, 1) · (1, 0, 0)) / ((1, 0, 0) · (1, 0, 0)) * (1, 0, 0) = (1 / 1) * (1, 0, 0) = (1, 0, 0).

Y proj_u2(v₃) = ((1, 1, 1) · (0, 1, 0)) / ((0, 1, 0) · (0, 1, 0)) * (0, 1, 0) = (1 / 1) * (0, 1, 0) = (0, 1, 0).

Entonces, u₃ = (1, 1, 1) - (1, 0, 0) - (0, 1, 0) = (0, 0, 1).

Paso 3: Normalización

Finalmente, normalizamos los vectores ortogonales u₁, u₂, y u₃ para obtener vectores de longitud 1. Esto se hace dividiendo cada vector por su magnitud.

La magnitud de un vector u se calcula como ||u|| = √(u · u).

Normalizamos u₁: ||u₁|| = √((1, 0, 0) · (1, 0, 0)) = √1 = 1. Entonces, e₁ = u₁ / ||u₁|| = (1, 0, 0) / 1 = (1, 0, 0).

Normalizamos u₂: ||u₂|| = √((0, 1, 0) · (0, 1, 0)) = √1 = 1. Entonces, e₂ = u₂ / ||u₂|| = (0, 1, 0) / 1 = (0, 1, 0).

Normalizamos u₃: ||u₃|| = √((0, 0, 1) · (0, 0, 1)) = √1 = 1. Entonces, e₃ = u₃ / ||u₃|| = (0, 0, 1) / 1 = (0, 0, 1).

El conjunto de vectores ortonormales resultante es: e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1). Estos vectores son ortogonales entre sí y cada uno tiene una longitud de 1.