El análisis de sensibilidad es una técnica crucial para entender cómo los cambios en los parámetros de un modelo de programación lineal afectan la solución óptima. A continuación, resolveremos un problema paso a paso para ilustrar este concepto.
Problema Ejemplo
Una empresa fabrica dos productos: A y B. La ganancia por unidad de A es de $3 y la ganancia por unidad de B es de $5. La empresa tiene 18 horas de mano de obra disponibles y cada unidad de A requiere 2 horas, mientras que cada unidad de B requiere 3 horas. La demanda máxima de A es de 4 unidades. Formule y resuelva el problema usando programación lineal y luego realice el análisis de sensibilidad.
Formulación del Modelo
Primero, definimos las variables de decisión: * x1 = Cantidad de unidades a producir de A. * x2 = Cantidad de unidades a producir de B.
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Luego, formulamos la función objetivo (maximizar la ganancia): Maximizar Z = 3x1 + 5x2.
Finalmente, establecemos las restricciones: * 2x1 + 3x2 ≤ 18 (Restricción de mano de obra). * x1 ≤ 4 (Restricción de demanda de A). * x1, x2 ≥ 0 (Restricciones de no negatividad).
Resolución Gráfica
1. Dibujamos las restricciones en un gráfico. Cada restricción define un área factible.
2. Encontramos la región factible, que es el área donde se cumplen todas las restricciones simultáneamente.
3. Identificamos los vértices de la región factible. Estos son los puntos candidatos a la solución óptima.
4. Evaluamos la función objetivo en cada vértice. El vértice que produce el valor máximo de Z es la solución óptima.
En este ejemplo, la solución óptima es x1 = 4 y x2 = 3.33 (aproximadamente). Esto significa que la empresa debe producir 4 unidades de A y aproximadamente 3.33 unidades de B para maximizar la ganancia. La ganancia máxima es Z = 3(4) + 5(3.33) = 28.65 (aproximadamente).
Análisis de Sensibilidad
El análisis de sensibilidad examina cómo cambia la solución óptima cuando se modifican los coeficientes de la función objetivo o los lados derechos de las restricciones.
Análisis de los Coeficientes de la Función Objetivo
1. Consideramos el coeficiente de x1 (la ganancia por unidad de A), que es $3. Analizamos qué rango de valores puede tomar este coeficiente sin que cambie la solución óptima actual.
2. De manera similar, analizamos el coeficiente de x2 (la ganancia por unidad de B), que es $5. Determinamos el rango de valores para este coeficiente que mantiene la solución óptima sin cambios.
3. Estos rangos suelen ser proporcionados por el software de programación lineal (como Solver en Excel o Gurobi). Por ejemplo, podríamos encontrar que el coeficiente de x1 puede variar entre $2 y $6 sin alterar la solución óptima (manteniendo x1 = 4 y x2 = 3.33).
Análisis de los Lados Derechos de las Restricciones
1. Consideramos la restricción de mano de obra (2x1 + 3x2 ≤ 18). El lado derecho es 18, que representa las horas de mano de obra disponibles.
2. Calculamos el precio sombra (shadow price) para esta restricción. El precio sombra indica cuánto aumentaría la ganancia óptima si aumentáramos el lado derecho de la restricción en una unidad.
3. El precio sombra solo es válido dentro de un cierto rango de valores para el lado derecho. Fuera de ese rango, la base de la solución óptima cambia y el precio sombra ya no es aplicable. Este rango también es proporcionado por el software.
4. De manera similar, analizamos la restricción de demanda de A (x1 ≤ 4). El precio sombra para esta restricción indica cuánto aumentaría la ganancia óptima si permitiéramos que la demanda máxima de A aumentara en una unidad.
Ejemplo de Interpretación: Si el precio sombra para la restricción de mano de obra es $1, significa que por cada hora adicional de mano de obra disponible, la ganancia óptima aumentaría en $1. Si el rango de validez del precio sombra es de 16 a 20 horas, entonces este precio sombra solo es aplicable si el número de horas de mano de obra disponibles está entre 16 y 20.
El análisis de sensibilidad proporciona información valiosa para la toma de decisiones, permitiendo a la empresa comprender el impacto de los cambios en los parámetros del modelo y tomar decisiones informadas para maximizar la ganancia.
