Las derivadas son una herramienta fundamental en cálculo. Se utilizan para modelar y resolver problemas del mundo real. Veremos algunos ejemplos resueltos para entender mejor su aplicación.
Ejemplo 1: Optimización de un área
Un granjero tiene 100 metros de cerca. Quiere cercar un terreno rectangular. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para maximizar el área del terreno?
Paso 1: Definir las variables. Llamemos x al largo del rectángulo. Llamemos y al ancho del rectángulo.
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Paso 2: Establecer las ecuaciones. El perímetro es 2x + 2y = 100. El área es A = x * y.
Paso 3: Despejar una variable. De la ecuación del perímetro, despejamos y: 2y = 100 - 2x, entonces y = 50 - x.
Paso 4: Sustituir en la ecuación del área. Sustituimos y en la ecuación del área: A = x * (50 - x) = 50x - x2.
Paso 5: Derivar la función área. Derivamos A con respecto a x: A' = 50 - 2x.
Paso 6: Igualar la derivada a cero. Para encontrar el máximo, igualamos la derivada a cero: 50 - 2x = 0.
Paso 7: Resolver para x. Resolvemos para x: 2x = 50, entonces x = 25.
Paso 8: Encontrar y. Sustituimos x = 25 en la ecuación y = 50 - x: y = 50 - 25 = 25.
Paso 9: Conclusión. Las dimensiones que maximizan el área son x = 25 metros e y = 25 metros. Es decir, un cuadrado de 25 metros de lado.
Ejemplo 2: Movimiento de un objeto
La posición de un objeto en función del tiempo está dada por la ecuación s(t) = t3 - 6t2 + 9t, donde s se mide en metros y t en segundos. ¿Cuál es la velocidad del objeto en el instante t = 2 segundos?
Paso 1: Entender la relación. La velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo. Es decir, v(t) = s'(t).
Paso 2: Derivar la función posición. Derivamos s(t) = t3 - 6t2 + 9t: s'(t) = 3t2 - 12t + 9.
Paso 3: Evaluar la derivada en t = 2. Sustituimos t = 2 en la ecuación de la velocidad: v(2) = 3(2)2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3.
Paso 4: Conclusión. La velocidad del objeto en t = 2 segundos es -3 metros por segundo. El signo negativo indica que el objeto se mueve en dirección opuesta a la inicial.
Ejemplo 3: Tasa de cambio relacionada
Un globo esférico se está inflando. Su radio aumenta a una tasa de 2 cm/s. ¿A qué velocidad está aumentando el volumen cuando el radio es de 5 cm?
Paso 1: Identificar las variables y tasas. Llamemos V al volumen del globo. Llamemos r al radio del globo. Tenemos que dr/dt = 2 cm/s. Queremos encontrar dV/dt cuando r = 5 cm.
Paso 2: Escribir la ecuación del volumen. El volumen de una esfera es V = (4/3)πr3.
Paso 3: Derivar con respecto al tiempo. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo t: dV/dt = 4πr2 (dr/dt).
Paso 4: Sustituir los valores conocidos. Sustituimos r = 5 cm y dr/dt = 2 cm/s: dV/dt = 4π(5)2(2) = 200π.
Paso 5: Conclusión. La velocidad a la que aumenta el volumen es de 200π cm3/s cuando el radio es de 5 cm.
Estos son solo algunos ejemplos. Las derivadas tienen muchísimas aplicaciones en la vida cotidiana y en diversas áreas del conocimiento. Entender su concepto y cómo aplicarlas es fundamental.