La idea central es simple: de todos los rectángulos que tienen el mismo perímetro, el que tiene el área máxima es un cuadrado. En otras palabras, si fijamos la cantidad de material que tenemos para construir el borde de un rectángulo, un cuadrado encerrará la mayor área posible.
¿Por qué es esto cierto? Podemos demostrarlo. El perímetro (P) de un rectángulo es 2 * (largo + ancho), o sea, P = 2l + 2a. El área (A) es largo * ancho, o A = l * a. Si despejamos 'l' de la fórmula del perímetro, obtenemos l = (P/2) - a. Sustituimos esto en la fórmula del área: A = ((P/2) - a) * a = (P/2)*a - a2. Si hacemos cálculo, derivamos la fórmula del área con respecto a "a" y encontramos el máximo, veríamos que la derivada es cero cuando 'a' = P/4. Si a = P/4, entonces l = (P/2) - (P/4) = P/4. Por lo tanto, l = a, ¡lo que significa que es un cuadrado!
Veamos un ejemplo. Digamos que tenemos 20 metros de valla (nuestro perímetro). Si hacemos un rectángulo de 6 metros de largo y 4 metros de ancho, el área sería 6 * 4 = 24 metros cuadrados. Pero, si hacemos un cuadrado de 5 metros de lado (ya que 20/4 = 5), el área sería 5 * 5 = 25 metros cuadrados. ¡Un área mayor con el mismo perímetro!
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¿Dónde se aplica esto? Piénsalo si estás construyendo un corral para animales. Si tienes una cantidad fija de valla, construir un corral cuadrado te dará la mayor área para que los animales se muevan. También aplica si estás diseñando un jardín rectangular con una cantidad limitada de borde decorativo. O incluso, si estás diseñando un panel solar rectangular con una cantidad fija de marco, optimizar el área captada maximizará la eficiencia. En general, siempre que quieras maximizar el área dentro de un perímetro dado, piensa en el cuadrado.
