Limite De Una Funcion Vectorial Ejercicios Resueltos

El límite de una función vectorial es una extensión del concepto de límite que conocemos para funciones escalares (funciones que dan como resultado un número). En lugar de tener un único valor numérico como límite, una función vectorial tiene un vector como límite.

¿Qué es una función vectorial? Una función vectorial, denotada típicamente como r(t), asigna un vector a cada valor de la variable independiente t. Este vector puede representar una posición en el espacio (2D o 3D) en función del tiempo, por ejemplo. Sus componentes son funciones escalares: r(t) = <f(t), g(t), h(t)>, donde f(t), g(t), y h(t) son funciones escalares de la variable t.

Definición del Límite: El límite de una función vectorial r(t) cuando t tiende a a, denotado como lim (t→a) r(t), es el vector L tal que las componentes de r(t) se acercan a las componentes de L cuando t se acerca a a. Es decir, lim (t→a) r(t) = <lim (t→a) f(t), lim (t→a) g(t), lim (t→a) h(t)>, siempre que cada uno de los límites de las funciones componentes exista.

Cálculo del Límite: Para calcular el límite de una función vectorial, simplemente calculamos el límite de cada una de sus funciones componentes por separado.

Ejemplo 1: Calcula el límite de r(t) = <t² + 1, e^t, sen(t)/t> cuando t tiende a 0.

Solución: * lim (t→0) (t² + 1) = 0² + 1 = 1 * lim (t→0) e^t = e⁰ = 1 * lim (t→0) sen(t)/t = 1 (Límite notable)

Por lo tanto, lim (t→0) r(t) = <1, 1, 1>.

Ejemplo 2: Calcula el límite de r(t) = <t/(t+1), √t, cos(t)> cuando t tiende a 1.

Solución: * lim (t→1) t/(t+1) = 1/(1+1) = 1/2 * lim (t→1) √t = √1 = 1 * lim (t→1) cos(t) = cos(1)

Por lo tanto, lim (t→1) r(t) = <1/2, 1, cos(1)>.

Importante: Si el límite de alguna de las funciones componentes no existe, entonces el límite de la función vectorial no existe.

En resumen, el cálculo de límites de funciones vectoriales se reduce al cálculo de límites de funciones escalares, lo cual facilita su comprensión y aplicación.