Integración Por Sustitución Trigonométrica Ejercicio 2

La integración por sustitución trigonométrica es una técnica para resolver integrales que contienen raíces cuadradas de expresiones algebraicas. La idea central es reemplazar la variable original (generalmente x) por una función trigonométrica. Esto simplifica la integral original, permitiendo su resolución usando identidades trigonométricas.

¿Cuándo Usar la Sustitución Trigonométrica?

Usamos sustitución trigonométrica cuando la integral contiene una de las siguientes formas, o algo muy parecido:

• √(a² - x²)
• √(a² + x²)
• √(x² - a²)

Aquí, a es una constante.

Ejercicio 2: Un Ejemplo Paso a Paso

Consideremos la integral: ∫ dx / √(4 + x²). Notamos que la expresión dentro de la raíz se asemeja a la forma √(a² + x²) con a = 2.

Paso 1: Elegir la Sustitución Trigonométrica Correcta

Para √(a² + x²), la sustitución adecuada es: x = a tan(θ). En nuestro caso, x = 2 tan(θ).

Paso 2: Calcular el Diferencial

Debemos encontrar dx. Derivamos x = 2 tan(θ) con respecto a θ: dx/dθ = 2 sec²(θ). Por lo tanto, dx = 2 sec²(θ) dθ.

Paso 3: Sustituir en la Integral

Reemplazamos x y dx en la integral original:

∫ dx / √(4 + x²) = ∫ (2 sec²(θ) dθ) / √(4 + (2 tan(θ))²)

Simplificamos la expresión dentro de la raíz: √(4 + 4 tan²(θ)) = √(4(1 + tan²(θ))) = 2√(sec²(θ)) = 2 sec(θ).

Ahora la integral se convierte en: ∫ (2 sec²(θ) dθ) / (2 sec(θ)) = ∫ sec(θ) dθ.

Paso 4: Resolver la Integral Trigonométrica

La integral de sec(θ) es conocida: ∫ sec(θ) dθ = ln|sec(θ) + tan(θ)| + C.

Paso 5: Regresar a la Variable Original

Necesitamos expresar la solución en términos de x. Recordemos que x = 2 tan(θ), entonces tan(θ) = x/2. Para encontrar sec(θ), podemos usar un triángulo rectángulo.

Si tan(θ) = x/2, el lado opuesto es x y el lado adyacente es 2. Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa es √(x² + 4). Por lo tanto, sec(θ) = hipotenusa / adyacente = √(x² + 4) / 2.

Sustituimos en la solución: ln|sec(θ) + tan(θ)| + C = ln|(√(x² + 4) / 2) + (x / 2)| + C = ln|(√(x² + 4) + x) / 2| + C.

Podemos simplificar usando propiedades de los logaritmos: ln|(√(x² + 4) + x) / 2| + C = ln|√(x² + 4) + x| - ln|2| + C. Como -ln|2| es una constante, lo absorbemos en la constante de integración, obteniendo la solución final: ln|√(x² + 4) + x| + C.

En resumen, la sustitución trigonométrica nos permite transformar integrales complejas en formas más manejables usando identidades trigonométricas y un poco de trigonometría básica. La clave es identificar la forma correcta de la raíz y elegir la sustitución trigonométrica adecuada.