Integracion Por Partes Ejercicios Resueltos Pdf

La integración por partes es una técnica fundamental en el cálculo integral. Se utiliza para integrar productos de funciones.

Esta técnica se basa en la regla del producto para la derivación. Recordemos la regla del producto: d(uv) = u dv + v du. Integrando ambos lados, obtenemos: ∫d(uv) = ∫u dv + ∫v du. Esto nos lleva a: uv = ∫u dv + ∫v du. Finalmente, despejando, llegamos a la fórmula clave: ∫u dv = uv - ∫v du.

Definición: La integración por partes permite transformar una integral compleja en otra más sencilla. Se basa en la elección adecuada de dos funciones, u y dv, dentro del integrando original.

¿Cómo aplicar la integración por partes?

El éxito de la integración por partes radica en la correcta selección de u y dv. El objetivo es que la integral resultante, ∫v du, sea más fácil de resolver que la integral original, ∫u dv. No existe una regla infalible, pero existen algunas guías útiles.

Una mnemotecnia útil es ILATE o LIATE (dependiendo del idioma). Representa un orden de prioridad para elegir u:

• I: Inversas trigonométricas (arcsen, arctan, etc.)
• L: Logarítmicas (ln, log)
• A: Algebraicas (polinomios, x, x², etc.)
• T: Trigonométricas (sen, cos, tan)
• E: Exponenciales (e^x, a^x)

La función que aparezca primero en esta lista será la que se elija como u. El resto del integrando, incluyendo dx, se considerará dv.

Ejemplo 1: ∫x cos(x) dx

Identificamos u y dv. Según ILATE, "x" (algebraica) tiene prioridad sobre "cos(x)" (trigonométrica). Por lo tanto:

u = x => du = dx

dv = cos(x) dx => v = ∫cos(x) dx = sen(x)

Aplicamos la fórmula de integración por partes: ∫u dv = uv - ∫v du

∫x cos(x) dx = x sen(x) - ∫sen(x) dx

Resolvemos la integral restante: ∫sen(x) dx = -cos(x)

Finalmente: ∫x cos(x) dx = x sen(x) + cos(x) + C

Ejemplo 2: ∫ln(x) dx

Aquí, solo tenemos ln(x). Implícitamente, tenemos un "1" multiplicando. Aplicando ILATE:

u = ln(x) => du = (1/x) dx

dv = dx => v = ∫dx = x

Aplicamos la fórmula: ∫u dv = uv - ∫v du

∫ln(x) dx = x ln(x) - ∫x (1/x) dx

Simplificamos: ∫ln(x) dx = x ln(x) - ∫dx

Resolvemos la integral restante: ∫dx = x

Finalmente: ∫ln(x) dx = x ln(x) - x + C

Ejemplo 3: ∫x² e^x dx

Aplicamos ILATE. "x²" (algebraica) tiene prioridad sobre "e^x" (exponencial).

u = x² => du = 2x dx

dv = e^x dx => v = ∫e^x dx = e^x

∫x² e^x dx = x² e^x - ∫2x e^x dx

Ahora debemos integrar ∫2x e^x dx. Aplicamos integración por partes nuevamente:

u = 2x => du = 2 dx

dv = e^x dx => v = e^x

∫2x e^x dx = 2x e^x - ∫2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x + C

Sustituimos en la primera ecuación:

∫x² e^x dx = x² e^x - (2x e^x - 2e^x) + C

∫x² e^x dx = x² e^x - 2x e^x + 2e^x + C

Este ejemplo muestra que a veces es necesario aplicar la integración por partes varias veces para resolver una integral.

La integración por partes es una herramienta poderosa para resolver integrales. La clave está en la práctica y en la correcta identificación de u y dv.