Hallar Las Dos Derivadas Parciales De Primer Orden

Imagina una montaña. Una montaña que no es solo una línea, sino una superficie suave, con curvas y pendientes en todas las direcciones. Ahora, visualiza que estás parado en un punto específico de esa montaña.

Hallar las dos derivadas parciales de primer orden es como preguntarte: "¿Cuál es la pendiente de la montaña si camino directamente hacia el este?", y luego "¿Cuál es la pendiente si camino directamente hacia el norte?". No te importa si caminas en diagonal, solo te interesan las direcciones cardinales principales.

Entendiendo las Variables

Para entender esto, piensa que la altura de la montaña, que llamaremos z, depende de dos cosas: cuánto te has movido hacia el este (x) y cuánto te has movido hacia el norte (y). Así, z es una función de x e y, y la escribimos como z = f(x, y).

x e y son nuestras variables independientes. z es la variable dependiente. Como la altitud de la montaña depende de tu posición en el plano xy.

La Derivada Parcial Respecto a x

La derivada parcial de f respecto a x (denotada como ∂f/∂x ) te dice cómo cambia z cuando solo cambias x, manteniendo y constante. Piensa que estas caminando hacia el este, manteniendo tu latitud fija. Observas la pendiente de la montaña en esa dirección.

Imagina que congelas el valor de y. Es como si hubieras cortado la montaña con un plano vertical paralelo al eje xz. La intersección es una curva, y la derivada parcial ∂f/∂x es la pendiente de esa curva en el punto donde estás parado.

Matemáticamente, tratas a y como si fuera un número fijo. Aplicas las reglas de derivación que ya conoces, pero solo a las x. Por ejemplo, si f(x, y) = x² + xy + y², entonces ∂f/∂x = 2x + y. Observa que y² se convierte en cero porque lo tratamos como una constante.

La Derivada Parcial Respecto a y

Ahora, la derivada parcial de f respecto a y (denotada como ∂f/∂y ) te dice cómo cambia z cuando solo cambias y, manteniendo x constante. Ahora caminas hacia el norte, manteniendo tu longitud fija. Observas la pendiente de la montaña en esa dirección.

Similarmente, congela el valor de x. Corta la montaña con un plano vertical paralelo al eje yz. La intersección es otra curva, y la derivada parcial ∂f/∂y es la pendiente de esa curva en el punto donde estás.

Matemáticamente, tratas a x como si fuera un número fijo. Aplicas las reglas de derivación solo a las y. Usando el mismo ejemplo, f(x, y) = x² + xy + y², entonces ∂f/∂y = x + 2y. x² se convierte en cero porque lo tratamos como una constante.

Ejemplo Concreto

Digamos que f(x, y) = 3x²y - 5y³ + 2x. Vamos a hallar las derivadas parciales de primer orden.

Primero, ∂f/∂x. Tratamos y como una constante. La derivada de 3x²y respecto a x es 6xy. La derivada de -5y³ respecto a x es 0 (porque es una constante). La derivada de 2x respecto a x es 2. Por lo tanto, ∂f/∂x = 6xy + 2.

Segundo, ∂f/∂y. Tratamos x como una constante. La derivada de 3x²y respecto a y es 3x². La derivada de -5y³ respecto a y es -15y². La derivada de 2x respecto a y es 0. Por lo tanto, ∂f/∂y = 3x² - 15y².

Visualizando el Resultado

Las derivadas parciales ∂f/∂x y ∂f/∂y son, en sí mismas, funciones de x e y. Esto significa que la pendiente en la dirección del este y la dirección del norte cambian a medida que te mueves por la montaña.

Si evaluas ∂f/∂x y ∂f/∂y en un punto específico (x₀, y₀), obtienes los valores numéricos de las pendientes en esas direcciones en ese punto. Es como si tomaras una foto instantánea de las pendientes en esas direcciones.

Así, las derivadas parciales te dan información clave sobre la forma y el comportamiento de la superficie definida por la función f(x, y).