¡Hola! Vamos a explorar las funciones de varias variables. Imagina un paisaje. No solo hay una coordenada para definir un punto, sino dos (o más!). Vamos a ver ejercicios resueltos con un enfoque visual. Prepárate para entender mejor este tema.
Ejercicio 1: Dominio de una Función
Considera la función: f(x, y) = √(9 - x² - y²). Piensa en la raíz cuadrada. No puede ser negativa. Así que (9 - x² - y²) debe ser mayor o igual a cero.
Esto implica que x² + y² ≤ 9. ¿Te suena familiar? Es la ecuación de un círculo con radio 3, centrado en el origen. Visualiza un disco plano. Ese disco, incluyendo su borde, es el dominio de la función.
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Cualquier punto (x, y) que esté dentro o sobre el círculo pertenece al dominio. Si intentas poner un punto fuera del círculo en la función, obtendrás un número imaginario. ¡Y eso no está definido en los números reales!
Ejercicio 2: Curvas de Nivel
Ahora, la función: f(x, y) = x² + y². Imagina una paraboloide, como un cuenco. Las curvas de nivel son como rebanadas horizontales del cuenco.
Para encontrar una curva de nivel, igualamos la función a una constante: x² + y² = k. Si k = 0, es un punto: el origen (0, 0). Si k = 1, es un círculo de radio 1. Si k = 4, un círculo de radio 2.
Cada valor de k nos da un círculo diferente. A medida que k aumenta, los círculos se hacen más grandes. Piensa en las curvas de nivel como mapas de contorno. Indican la altitud de la función en diferentes puntos.
Ejercicio 3: Derivadas Parciales
Sea f(x, y) = x³y² + xy³. Las derivadas parciales miden cómo cambia la función respecto a una variable, manteniendo las otras constantes. Imagina que solo te mueves en dirección x o en dirección y.
Para ∂f/∂x, derivamos respecto a x, considerando y como constante. Así, ∂f/∂x = 3x²y² + y³. Visualiza cómo cambia la altura de la superficie si te mueves solo en la dirección x.
Para ∂f/∂y, derivamos respecto a y, considerando x como constante. Entonces, ∂f/∂y = 2x³y + 3xy². Visualiza ahora cómo cambia la altura si te mueves solo en la dirección y. Son pendientes en direcciones específicas.
Ejercicio 4: Punto Crítico
Considera f(x, y) = x² + y² - 4x + 6y + 13. Un punto crítico es donde las derivadas parciales son ambas cero, o donde alguna no existe. Imagina la cima o el fondo de una colina.
Calculamos las derivadas parciales: ∂f/∂x = 2x - 4 y ∂f/∂y = 2y + 6. Igualamos ambas a cero. 2x - 4 = 0 implica x = 2. 2y + 6 = 0 implica y = -3.
El punto crítico es (2, -3). Para saber si es un máximo, mínimo o punto de silla, necesitamos el Hessiano (¡otro tema!). Pero, este ejercicio te muestra cómo encontrar el candidato a extremo.
Ejercicio 5: Aplicación Práctica
Imagina que diseñas un jardín rectangular. Tienes 100 metros de valla. Quieres maximizar el área. El área es A(x, y) = xy. El perímetro es 2x + 2y = 100, o simplificando, x + y = 50.
De la restricción del perímetro, obtenemos y = 50 - x. Sustituimos esto en el área: A(x) = x(50 - x) = 50x - x². Ahora tenemos una función de una sola variable.
Derivamos y la igualamos a cero: A'(x) = 50 - 2x = 0. Esto implica x = 25. Entonces, y = 50 - 25 = 25. ¡El área máxima se logra con un cuadrado de lado 25! Visualiza cómo cambiar el rectángulo afecta el área encerrada.
¡Espero que estos ejercicios te hayan ayudado! Recuerda que la clave está en visualizar las funciones como superficies y entender qué representan las derivadas parciales y las curvas de nivel.
