Funcion Inversa De Logaritmo Ejercicios Resueltos

La función inversa del logaritmo es la función exponencial. Para entenderlo, recordemos primero qué es un logaritmo. El logaritmo en base b de un número x (escrito log_b(x)) es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener x. En otras palabras, si log_b(x) = y, entonces b^y = x.

La función inversa "deshace" lo que hace la función original. En el caso del logaritmo, la función exponencial deshace la operación del logaritmo, y viceversa.

¿Cómo encontrar la función inversa de un logaritmo?

El proceso general es el siguiente:

1. Reemplaza f(x) con y. Si tenemos f(x) = log_b(x), escribimos y = log_b(x).
2. Intercambia x e y. Esto nos da x = log_b(y).
3. Despeja y. Para despejar y, convertimos la ecuación logarítmica a su forma exponencial. Si x = log_b(y), entonces b^x = y.
4. Reemplaza y con f^-1(x). Esto nos da la función inversa: f^-1(x) = b^x.

Ejemplos Resueltos:

Ejemplo 1: Encuentra la inversa de f(x) = log₂(x).

1. y = log₂(x)
2. x = log₂(y)
3. 2^x = y
4. f^-1(x) = 2^x

Por lo tanto, la inversa de f(x) = log₂(x) es f^-1(x) = 2^x.

Ejemplo 2: Encuentra la inversa de f(x) = log(x). (Recuerda que si no se especifica la base, se asume que es base 10).

1. y = log(x)
2. x = log(y)
3. 10^x = y
4. f^-1(x) = 10^x

Por lo tanto, la inversa de f(x) = log(x) es f^-1(x) = 10^x.

En resumen, encontrar la inversa de una función logarítmica implica convertir la función a su forma exponencial. La clave es recordar la relación entre logaritmos y exponenciales: son operaciones inversas entre sí. Este proceso se aplica independientemente de la base del logaritmo.