Vamos a resolver ejercicios de Función Cuadrática en su Forma Canónica.
Comprendiendo la Forma Canónica
La Forma Canónica de una función cuadrática es: f(x) = a(x - h)² + k.
Aquí, (h, k) representa el vértice de la parábola. El parámetro 'a' determina la concavidad y la amplitud.
Must Read
Ejercicio 1: Hallar la Forma Canónica
Tenemos la función: f(x) = x² + 4x + 7.
Primero, completamos el cuadrado. Identificamos el coeficiente de x, que es 4.
Dividimos este coeficiente entre 2: 4 / 2 = 2. Luego elevamos al cuadrado el resultado: 2² = 4.
Sumamos y restamos este valor dentro de la función original: f(x) = x² + 4x + 4 - 4 + 7.
Ahora, factorizamos el trinomio cuadrado perfecto: f(x) = (x + 2)² - 4 + 7.
Simplificamos la expresión: f(x) = (x + 2)² + 3.
Por lo tanto, la Forma Canónica es: f(x) = (x + 2)² + 3. El vértice es (-2, 3).
Ejercicio 2: Otro Ejemplo de Conversión
Consideremos la función: f(x) = 2x² - 8x + 5.
Factorizamos el coeficiente de x² (que es 2) de los dos primeros términos: f(x) = 2(x² - 4x) + 5.
Completamos el cuadrado dentro del paréntesis. El coeficiente de x es -4.
Dividimos entre 2: -4 / 2 = -2. Elevamos al cuadrado: (-2)² = 4.
Sumamos y restamos 4 dentro del paréntesis: f(x) = 2(x² - 4x + 4 - 4) + 5.
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto: f(x) = 2((x - 2)² - 4) + 5.
Distribuimos el 2: f(x) = 2(x - 2)² - 8 + 5.
Simplificamos: f(x) = 2(x - 2)² - 3.
La Forma Canónica es: f(x) = 2(x - 2)² - 3. El vértice es (2, -3).
Ejercicio 3: A partir del Vértice y un Punto
Nos dan el vértice (1, 2) y un punto (3, 6) en la parábola.
La Forma Canónica es: f(x) = a(x - h)² + k. Sustituimos el vértice: f(x) = a(x - 1)² + 2.
Usamos el punto (3, 6) para hallar 'a'. Sustituimos x = 3 y f(x) = 6: 6 = a(3 - 1)² + 2.
Simplificamos: 6 = a(2)² + 2.
Resolvemos para 'a': 6 = 4a + 2. Restamos 2 de ambos lados: 4 = 4a.
Dividimos entre 4: a = 1.
Sustituimos 'a' en la ecuación: f(x) = 1(x - 1)² + 2.
La Forma Canónica es: f(x) = (x - 1)² + 2.
Conclusión
Convertir a la Forma Canónica implica completar el cuadrado. Es útil para identificar el vértice.
Si se da el vértice y otro punto, podemos determinar la función cuadrática en Forma Canónica.
La práctica constante ayuda a dominar estas técnicas. ¡Sigue practicando!