El cálculo integral y el cálculo diferencial son dos ramas fundamentales del cálculo. Cada una tiene sus propias fórmulas para resolver problemas específicos.
Fórmulas de Cálculo Diferencial
Primero, veamos las fórmulas básicas de diferenciación.
1. Derivada de una constante: Si f(x) = c (donde c es una constante), entonces f'(x) = 0. Por ejemplo, si f(x) = 5, entonces f'(x) = 0.
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2. Derivada de una potencia: Si f(x) = xn, entonces f'(x) = n * x(n-1). Por ejemplo, si f(x) = x3, entonces f'(x) = 3x2.
3. Derivada de una suma/resta: Si f(x) = u(x) + v(x), entonces f'(x) = u'(x) + v'(x). De manera similar, si f(x) = u(x) - v(x), entonces f'(x) = u'(x) - v'(x). Por ejemplo, si f(x) = x2 + 3x, entonces f'(x) = 2x + 3.
4. Derivada de un producto: Si f(x) = u(x) * v(x), entonces f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x). Por ejemplo, si f(x) = x * sin(x), entonces f'(x) = 1 * sin(x) + x * cos(x) = sin(x) + xcos(x).
5. Derivada de un cociente: Si f(x) = u(x) / v(x), entonces f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))2. Por ejemplo, si f(x) = x / (x+1), entonces f'(x) = (1 * (x+1) - x * 1) / (x+1)2 = 1 / (x+1)2.
6. Regla de la cadena: Si f(x) = g(h(x)), entonces f'(x) = g'(h(x)) * h'(x). Por ejemplo, si f(x) = sin(x2), entonces f'(x) = cos(x2) * 2x.
Fórmulas de Cálculo Integral
Ahora, veamos algunas fórmulas básicas de integración.
1. Integral de una constante: ∫ c dx = cx + C, donde C es la constante de integración. Por ejemplo, ∫ 3 dx = 3x + C.
2. Integral de una potencia: ∫ xn dx = (x(n+1)) / (n+1) + C, donde n ≠ -1. Por ejemplo, ∫ x2 dx = (x3) / 3 + C.
3. Integral de 1/x: ∫ (1/x) dx = ln|x| + C. Por ejemplo, ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.
4. Integral de ex: ∫ ex dx = ex + C. Por ejemplo, ∫ ex dx = ex + C.
5. Integral del seno: ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C. Por ejemplo, ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C.
6. Integral del coseno: ∫ cos(x) dx = sin(x) + C. Por ejemplo, ∫ cos(x) dx = sin(x) + C.
7. Integración por sustitución (cambio de variable): Es el proceso inverso a la regla de la cadena. Si tienes una integral de la forma ∫ f(g(x)) * g'(x) dx, puedes hacer la sustitución u = g(x), entonces du = g'(x) dx. La integral se transforma en ∫ f(u) du.
8. Integración por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du. Se utiliza para integrar productos de funciones. Se elige u y dv apropiadamente para simplificar la integral.
Es importante recordar que la constante de integración, C, siempre debe incluirse en la respuesta final de una integral indefinida.
Estas son solo algunas de las fórmulas básicas del cálculo integral y diferencial. El estudio de estas áreas es extenso, pero estas fórmulas proporcionan una base sólida para empezar.
