Formulario De Calculo Diferencial E Integral

Aquí tienes un formulario básico de cálculo diferencial e integral, junto con algunos ejemplos de cómo aplicar las fórmulas. Este formulario no es exhaustivo, pero cubre los conceptos más importantes.

Derivadas

Las derivadas representan la tasa de cambio instantánea de una función. La notación común para la derivada de f(x) es f'(x) o df/dx.

Reglas básicas de derivación:

1. Derivada de una constante: Si f(x) = c (donde c es una constante), entonces f'(x) = 0. Ejemplo: Si f(x) = 5, entonces f'(x) = 0.

2. Derivada de una potencia: Si f(x) = xⁿ, entonces f'(x) = nx^(n-1). Ejemplo: Si f(x) = x³, entonces f'(x) = 3x².

3. Derivada de una constante por una función: Si f(x) = cg(x), entonces f'(x) = cg'(x). Ejemplo: Si f(x) = 2x², entonces f'(x) = 2(2x) = 4x.

4. Regla de la suma/resta: Si f(x) = u(x) ± v(x), entonces f'(x) = u'(x) ± v'(x). Ejemplo: Si f(x) = x² + 3x, entonces f'(x) = 2x + 3.

5. Regla del producto: Si f(x) = u(x) * v(x), entonces f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Ejemplo: Si f(x) = x² * sin(x), entonces f'(x) = 2xsin(x) + x²cos(x).

6. Regla del cociente: Si f(x) = u(x) / v(x), entonces f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))². Ejemplo: Si f(x) = sin(x) / x, entonces f'(x) = (cos(x)x - sin(x)1) / x².

7. Regla de la cadena: Si f(x) = u(v(x)), entonces f'(x) = u'(v(x)) * v'(x). Ejemplo: Si f(x) = sin(x²), entonces f'(x) = cos(x²) * 2x.

Derivadas de funciones trigonométricas:

• d/dx (sin(x)) = cos(x)
• d/dx (cos(x)) = -sin(x)
• d/dx (tan(x)) = sec²(x)

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas:

• d/dx (e^x) = e^x
• d/dx (ln(x)) = 1/x

Integrales

La integral es la operación inversa de la derivación. Representa el área bajo la curva de una función.

Integrales básicas:

1. Integral de una constante: ∫ c dx = cx + C (donde C es la constante de integración). Ejemplo: ∫ 3 dx = 3x + C.

2. Integral de una potencia: ∫ xⁿ dx = (x⁽ⁿ⁺¹⁾) / (n+1) + C (donde n ≠ -1). Ejemplo: ∫ x² dx = (x³) / 3 + C.

3. Integral de 1/x: ∫ (1/x) dx = ln|x| + C. Ejemplo: ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.

4. Integral de e^x: ∫ e^x dx = e^x + C. Ejemplo: ∫ e^x dx = e^x + C.

Técnicas de integración:

1. Sustitución (Cambio de variable): Se utiliza cuando parte del integrando es la derivada de otra parte. Se hace un cambio de variable u = g(x), entonces du = g'(x) dx. Ejemplo: ∫ 2xcos(x²) dx. Sea u = x², entonces du = 2x dx. La integral se convierte en ∫ cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.

2. Integración por partes: Se utiliza para integrar productos de funciones. La fórmula es ∫ u dv = uv - ∫ v du. Ejemplo: ∫ xsin(x) dx. Sea u = x y dv = sin(x) dx. Entonces du = dx y v = -cos(x). La integral se convierte en -xcos(x) - ∫ -cos(x) dx = -xcos(x) + sin(x) + C.

Integrales definidas:

Una integral definida tiene límites de integración a y b, y representa el área bajo la curva de la función entre esos límites. Se calcula como ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), donde F(x) es la antiderivada de f(x).