Comencemos con lo más importante: la definición. El crecimiento exponencial y el decrecimiento exponencial describen cómo una cantidad aumenta o disminuye con el tiempo a una tasa que es proporcional a su valor actual. En otras palabras, cuanto más haya, más rápido crecerá (crecimiento) o disminuirá (decrecimiento).
La fórmula general para problemas de este tipo es: y = a(1 ± r)^t donde:
- y es la cantidad final después de un tiempo t.
- a es la cantidad inicial.
- r es la tasa de crecimiento (si es positivo) o decrecimiento (si es negativo) expresada como decimal.
- t es el tiempo.
Crecimiento exponencial: La cantidad aumenta. Imagina una población de bacterias que se duplica cada hora. Aquí, r sería positivo. Por ejemplo, si inicialmente hay 100 bacterias (a = 100) y se duplican cada hora (r = 1), después de 3 horas (t = 3), tendrías y = 100(1 + 1)^3 = 800 bacterias.
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Decrecimiento exponencial: La cantidad disminuye. Piensa en la desintegración radiactiva de un isótopo. Aquí, r sería negativo. Digamos que tienes 500 gramos de una sustancia radiactiva (a = 500) que se desintegra a una tasa del 10% por día (r = -0.1). Después de 5 días (t = 5), tendrías y = 500(1 - 0.1)^5 ≈ 295.25 gramos.
¿Dónde se aplica esto en la vida real? Los problemas de crecimiento exponencial son cruciales para entender el interés compuesto en finanzas. Saber cómo crece tu dinero a lo largo del tiempo es fundamental para la planificación financiera. El decrecimiento exponencial es esencial en medicina, para comprender cómo se elimina un fármaco del cuerpo con el tiempo o en arqueología para la datación por carbono-14, determinando la edad de artefactos antiguos.
