Una elipse es una figura geométrica parecida a un círculo "aplastado". Más precisamente, es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Cuando la elipse está centrada en el origen (0,0) del plano cartesiano, su ecuación se simplifica. Analicemos los elementos clave:
Ecuación Canónica: La ecuación principal de una elipse con centro en el origen es:
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x2/a2 + y2/b2 = 1
Aquí, 'a' y 'b' representan la longitud del semi-eje mayor y el semi-eje menor respectivamente. El eje mayor es el eje más largo que atraviesa la elipse, y el eje menor es el más corto.
Eje Mayor: Si a > b, entonces el eje mayor está sobre el eje x. Los vértices están en (+/- a, 0). Si b > a, el eje mayor está sobre el eje y, y los vértices están en (0, +/- b).
Eje Menor: Si a > b, el eje menor está sobre el eje y y tiene longitud 2b. Si b > a, el eje menor está sobre el eje x y tiene longitud 2a.
Focos: Los focos son dos puntos especiales dentro de la elipse. Su distancia al centro se calcula con la fórmula: c2 = |a2 - b2|. Los focos se encuentran en (+/- c, 0) si el eje mayor está sobre el eje x, o en (0, +/- c) si está sobre el eje y.
Vértices: Los vértices son los puntos donde la elipse intersecta su eje mayor.
Lado Recto: El lado recto es un segmento de línea que pasa por un foco, es perpendicular al eje mayor y tiene sus extremos sobre la elipse. Su longitud es 2b2/a (si el eje mayor está en el eje x) o 2a2/b (si está en el eje y).
Ejemplo: Considera la elipse x2/16 + y2/9 = 1. Aquí, a2 = 16, entonces a = 4; y b2 = 9, entonces b = 3. El eje mayor está sobre el eje x. Los vértices están en (+/- 4, 0). c2 = 16 - 9 = 7, entonces c = √7. Los focos están en (+/- √7, 0).
Recuerda: Identificar 'a' y 'b' es crucial. Determina cuál es mayor para saber dónde está el eje mayor y así encontrar los vértices y los focos correctamente.
