Aquí tienes algunos ejercicios resueltos de integrales definidas, con explicaciones paso a paso.
Ejercicio 1
Calcula la integral definida: ∫02 x2 dx
Paso 1: Encuentra la antiderivada de x2.
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La antiderivada de x2 es (1/3)x3. Recuerda la regla de la potencia para la integración: ∫xn dx = (1/(n+1))xn+1 + C.
Paso 2: Evalúa la antiderivada en el límite superior e inferior.
Límite superior: (1/3)(2)3 = (1/3)(8) = 8/3
Límite inferior: (1/3)(0)3 = (1/3)(0) = 0
Paso 3: Resta el valor de la antiderivada en el límite inferior del valor en el límite superior.
(8/3) - 0 = 8/3
Por lo tanto, ∫02 x2 dx = 8/3
Ejercicio 2
Calcula la integral definida: ∫13 (2x + 1) dx
Paso 1: Encuentra la antiderivada de (2x + 1).
La antiderivada de 2x es x2. La antiderivada de 1 es x. Por lo tanto, la antiderivada de (2x + 1) es x2 + x.
Paso 2: Evalúa la antiderivada en el límite superior e inferior.
Límite superior: (3)2 + 3 = 9 + 3 = 12
Límite inferior: (1)2 + 1 = 1 + 1 = 2
Paso 3: Resta el valor de la antiderivada en el límite inferior del valor en el límite superior.
12 - 2 = 10
Por lo tanto, ∫13 (2x + 1) dx = 10
Ejercicio 3
Calcula la integral definida: ∫0π/2 cos(x) dx
Paso 1: Encuentra la antiderivada de cos(x).
La antiderivada de cos(x) es sin(x).
Paso 2: Evalúa la antiderivada en el límite superior e inferior.
Límite superior: sin(π/2) = 1
Límite inferior: sin(0) = 0
Paso 3: Resta el valor de la antiderivada en el límite inferior del valor en el límite superior.
1 - 0 = 1
Por lo tanto, ∫0π/2 cos(x) dx = 1
Ejercicio 4
Calcula la integral definida: ∫-11 x3 dx
Paso 1: Encuentra la antiderivada de x3.
La antiderivada de x3 es (1/4)x4.
Paso 2: Evalúa la antiderivada en el límite superior e inferior.
Límite superior: (1/4)(1)4 = 1/4
Límite inferior: (1/4)(-1)4 = 1/4
Paso 3: Resta el valor de la antiderivada en el límite inferior del valor en el límite superior.
(1/4) - (1/4) = 0
Por lo tanto, ∫-11 x3 dx = 0
