En el mundo del cálculo diferencial, las funciones son un pilar fundamental. Entenderlas y saber cómo manipularlas es crucial. Esta guía presenta ejercicios resueltos para facilitar ese entendimiento. Vamos a explorar algunos ejemplos prácticos.
¿Qué es una Función?
Una función es una relación entre dos conjuntos. Esta relación asigna a cada elemento del primer conjunto (el dominio) un único elemento del segundo conjunto (el rango). Piensa en una máquina: introduces un valor (dominio), y la máquina produce otro valor (rango).
Se suele denotar una función como f(x). Aquí, x representa la variable independiente (el valor de entrada). f(x) representa la variable dependiente (el valor de salida). Por ejemplo, en la función f(x) = x + 2, si x = 3, entonces f(3) = 3 + 2 = 5.
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Ejercicio 1: Evaluar una Función
Consideremos la función f(x) = 2x2 - 3x + 1. Vamos a encontrar el valor de f(2).
Reemplazamos x por 2 en la función. f(2) = 2(2)2 - 3(2) + 1. Simplificamos la expresión: f(2) = 2(4) - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3. Por lo tanto, f(2) = 3.
Ejercicio 2: Dominio y Rango
Determinemos el dominio de la función g(x) = 1 / (x - 4). El dominio es el conjunto de todos los valores posibles de x para los cuales la función está definida. En este caso, la función no está definida cuando el denominador es cero.
El denominador es cero cuando x - 4 = 0, lo que implica que x = 4. Por lo tanto, el dominio de g(x) son todos los números reales excepto 4. En notación de intervalos, esto se expresa como (-∞, 4) ∪ (4, ∞).
Ejercicio 3: Composición de Funciones
Dadas las funciones f(x) = x + 1 y g(x) = x2, encontremos f(g(x)). La composición de funciones significa aplicar una función al resultado de otra.
Primero, encontramos g(x), que es x2. Luego, reemplazamos x en f(x) con g(x). Esto nos da f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1. Por lo tanto, f(g(x)) = x2 + 1.
Ejercicio 4: Función Inversa
Hallar la inversa de la función h(x) = 3x - 2. La función inversa, denotada como h-1(x), "deshace" lo que hace la función original.
Primero, reemplazamos h(x) con y: y = 3x - 2. Luego, intercambiamos x e y: x = 3y - 2. Ahora, resolvemos para y: x + 2 = 3y, lo que implica que y = (x + 2) / 3. Finalmente, reemplazamos y con h-1(x): h-1(x) = (x + 2) / 3.
Ejercicio 5: Límites
Calcular el límite siguiente: limx→2 (x2 - 4) / (x - 2). Al evaluar directamente, obtenemos una forma indeterminada 0/0.
Factorizamos el numerador: x2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Ahora el límite se convierte en: limx→2 [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2). Cancelamos el factor común (x - 2). Esto nos deja con limx→2 (x + 2). Finalmente, evaluamos el límite sustituyendo x = 2: 2 + 2 = 4. Por lo tanto, el límite es 4.
Estos ejercicios son solo una introducción a las funciones en cálculo diferencial. La práctica continua es clave. Con dedicación, dominarás este tema fundamental.