Ejercicios De Parabolas Con Vertice En El Origen

Una parábola con vértice en el origen es una curva cónica cuya ecuación más simple se puede expresar como x² = 4py o y² = 4px. El "origen" se refiere al punto (0,0) en el plano cartesiano, que es donde se ubica el vértice de la parábola. El vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección.

Ecuaciones: La forma general de la ecuación de una parábola con vértice en el origen depende de si su eje de simetría es vertical (paralelo al eje y) o horizontal (paralelo al eje x).

• Si el eje de simetría es vertical: x² = 4py. En esta ecuación, 'p' representa la distancia focal, es decir, la distancia entre el vértice y el foco de la parábola. Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, se abre hacia abajo.
• Si el eje de simetría es horizontal: y² = 4px. Nuevamente, 'p' es la distancia focal. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, se abre hacia la izquierda.

Elementos clave:

• Vértice: (0,0) por definición.
• Foco: Si la ecuación es x² = 4py, el foco es (0, p). Si la ecuación es y² = 4px, el foco es (p, 0).
• Directriz: La recta perpendicular al eje de simetría y a la misma distancia del vértice que el foco. Si la ecuación es x² = 4py, la directriz es y = -p. Si la ecuación es y² = 4px, la directriz es x = -p.
• Lado recto: Es el segmento de recta que pasa por el foco, es perpendicular al eje de simetría y cuyos extremos están sobre la parábola. Su longitud es siempre 4|p|.

Ejemplo 1: Considera la ecuación x² = 8y. Aquí, 4p = 8, por lo tanto p = 2. El vértice es (0,0), el foco es (0,2), la directriz es y = -2, y la longitud del lado recto es 8.

Ejemplo 2: Considera la ecuación y² = -12x. Aquí, 4p = -12, por lo tanto p = -3. El vértice es (0,0), el foco es (-3,0), la directriz es x = 3, y la longitud del lado recto es 12.

Las parábolas, incluyendo aquellas con vértice en el origen, tienen importantes aplicaciones en la vida real. Desde el diseño de antenas parabólicas que concentran señales, hasta la trayectoria de proyectiles en física, la comprensión de las propiedades de las parábolas es fundamental en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería.