Vamos a resolver ejercicios de parábolas. Estos ejercicios serán explicados paso a paso. El objetivo es entender el proceso.
Ejercicio 1: Encontrar la ecuación de la parábola
Tenemos un vértice en (2, 3). El foco está en (2, 5). Necesitamos la ecuación de la parábola. Primero, identifiquemos la forma de la parábola.
El vértice y el foco tienen la misma coordenada x. Esto significa que la parábola se abre hacia arriba. La ecuación general es (x - h)² = 4p(y - k). (h, k) es el vértice.
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Sustituimos el vértice (2, 3) en la ecuación. (x - 2)² = 4p(y - 3). Ahora necesitamos encontrar el valor de p.
p es la distancia entre el vértice y el foco. p = 5 - 3 = 2. Sustituimos p = 2 en la ecuación. (x - 2)² = 4(2)(y - 3).
Simplificamos la ecuación. (x - 2)² = 8(y - 3). Esta es la ecuación de la parábola. Ya tenemos la solución.
Ejercicio 2: Hallar el vértice y el foco
Dada la ecuación (y + 1)² = -12(x - 3). Necesitamos el vértice y el foco. Primero, comparemos la ecuación con la forma general.
La forma general es (y - k)² = 4p(x - h). El vértice es (h, k). En nuestra ecuación, h = 3 y k = -1. El vértice es (3, -1).
Ahora necesitamos encontrar p. 4p = -12. p = -3. Como p es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.
El foco está a una distancia |p| del vértice. Como la parábola se abre hacia la izquierda, la coordenada x del foco disminuye. El foco es (3 + p, -1).
Sustituimos p = -3. El foco es (3 - 3, -1). El foco es (0, -1). Ya encontramos el vértice y el foco.
Ejercicio 3: Ecuación general a forma canónica
Tenemos la ecuación x² - 4x - 8y + 20 = 0. Necesitamos la forma canónica. Primero, completaremos el cuadrado para x.
Agrupamos los términos con x: (x² - 4x) - 8y + 20 = 0. Para completar el cuadrado, tomamos la mitad del coeficiente de x y lo elevamos al cuadrado. (-4/2)² = 4.
Sumamos y restamos 4: (x² - 4x + 4 - 4) - 8y + 20 = 0. Factorizamos: (x - 2)² - 4 - 8y + 20 = 0.
Simplificamos: (x - 2)² - 8y + 16 = 0. Movemos los términos sin x al otro lado: (x - 2)² = 8y - 16.
Factorizamos el lado derecho: (x - 2)² = 8(y - 2). Esta es la forma canónica de la ecuación. Hemos transformado la ecuación general.
Ejercicio 4: Aplicación de la parábola
Un reflector parabólico tiene 10 cm de diámetro. Tiene 4 cm de profundidad. Necesitamos la distancia del vértice al foco. Imaginemos la parábola verticalmente.
El diámetro es 10 cm, entonces el radio es 5 cm. El punto (5, 4) está en la parábola. La ecuación es x² = 4py.
Sustituimos el punto (5, 4) en la ecuación. 5² = 4p(4). 25 = 16p.
Resolvemos para p. p = 25/16. La distancia del vértice al foco es p.
La distancia es 25/16 cm. Aproximadamente, es 1.56 cm. Hemos encontrado la distancia requerida.
