Ejercicio De Parabola Con Vertice En El Origen

La parábola es una curva cónica abierta. Se define como el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una línea recta fija llamada directriz.

Parábolas con Vértice en el Origen

Vamos a concentrarnos en las parábolas cuyo vértice se encuentra en el origen del plano cartesiano (0, 0). Estas parábolas tienen ecuaciones muy sencillas y fáciles de manipular. Existen cuatro casos principales, dependiendo de hacia dónde se abre la parábola.

Ecuación Canónica

La ecuación canónica de una parábola con vértice en el origen depende de si su eje de simetría coincide con el eje x o con el eje y.

• Si el eje de simetría es el eje x (parábola horizontal): La ecuación es y² = 4px
• Si el eje de simetría es el eje y (parábola vertical): La ecuación es x² = 4py

En ambas ecuaciones, p representa la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz. Es un parámetro clave para determinar las características de la parábola.

Parábola Horizontal

Si p es positivo (p > 0), la parábola y² = 4px se abre hacia la derecha. El foco se encuentra en el punto (p, 0) y la directriz es la recta x = -p. Por el contrario, si p es negativo (p < 0), la parábola se abre hacia la izquierda. El foco está en (p, 0) y la directriz es x = -p.

Ejemplo: Consideremos la ecuación y² = 8x. Aquí, 4p = 8, por lo tanto, p = 2. La parábola se abre hacia la derecha, el foco está en (2, 0) y la directriz es x = -2.

Parábola Vertical

Si p es positivo (p > 0), la parábola x² = 4py se abre hacia arriba. El foco se ubica en el punto (0, p) y la directriz es la recta y = -p. Si p es negativo (p < 0), la parábola se abre hacia abajo. El foco está en (0, p) y la directriz es y = -p.

Ejemplo: Consideremos la ecuación x² = -12y. Aquí, 4p = -12, por lo tanto, p = -3. La parábola se abre hacia abajo, el foco está en (0, -3) y la directriz es y = 3.

Ejemplos Prácticos

Veamos algunos ejemplos para solidificar la comprensión. Encuentra el foco y la directriz de la parábola y² = -16x.

Solución: Tenemos que 4p = -16, entonces p = -4. La parábola se abre hacia la izquierda. El foco está en (-4, 0) y la directriz es x = 4.

Otro ejemplo: Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (0, 5).

Solución: Como el foco está en (0, 5), la parábola es vertical y p = 5. La ecuación es x² = 4(5)y, es decir, x² = 20y.

Aplicaciones

Las parábolas tienen numerosas aplicaciones en la vida real. Se utilizan en antenas parabólicas para enfocar las señales en un punto. También se usan en faros de automóviles para dirigir la luz en un haz paralelo. La trayectoria de un proyectil (ignorando la resistencia del aire) también describe una parábola.

Comprender las parábolas con vértice en el origen es fundamental para estudiar casos más generales de parábolas y sus aplicaciones.