La derivada de una suma de funciones es una regla fundamental del cálculo. Es más fácil de lo que parece. En esencia, te dice que puedes derivar cada función por separado y luego sumar los resultados. ¡Así de simple!
¿Qué significa esto?
Imagina que tienes una función compuesta por la suma de dos (o más) funciones más simples. Digamos, f(x) = g(x) + h(x). La regla de la suma nos dice que:
f'(x) = g'(x) + h'(x)
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En palabras, la derivada de f(x) es igual a la derivada de g(x) más la derivada de h(x). ¡Derivar por partes y luego sumar es la clave!
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1: Considera la función f(x) = x² + 3x. Tenemos dos funciones: g(x) = x² y h(x) = 3x.
Primero, derivamos g(x) = x². Usando la regla de la potencia, obtenemos g'(x) = 2x.
Luego, derivamos h(x) = 3x. La derivada de una constante multiplicada por x es simplemente la constante, así que h'(x) = 3.
Finalmente, sumamos las derivadas: f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2x + 3. ¡Listo! La derivada de x² + 3x es 2x + 3.
Ejemplo 2: Veamos algo un poco más complejo: f(x) = sen(x) + cos(x) + 5.
Aquí tenemos tres funciones: g(x) = sen(x), h(x) = cos(x) y i(x) = 5.
Sabemos que la derivada de sen(x) es cos(x), así que g'(x) = cos(x).
La derivada de cos(x) es -sen(x), por lo tanto h'(x) = -sen(x).
La derivada de una constante (en este caso, 5) es siempre 0, entonces i'(x) = 0.
Sumamos las derivadas: f'(x) = g'(x) + h'(x) + i'(x) = cos(x) - sen(x) + 0 = cos(x) - sen(x).
Ejemplo 3: f(x) = 4x³ - 2x² + x - 7. Aquí, aplicamos la regla de la suma (y la regla de la potencia) repetidamente.
f'(x) = 12x² - 4x + 1 - 0 = 12x² - 4x + 1.
En resumen
La derivada de una suma de funciones es una herramienta poderosa y fácil de usar. Simplemente deriva cada término por separado y luego suma los resultados. ¡Practica con muchos ejemplos y te convertirás en un experto!
Recuerda: La práctica hace al maestro. ¡Sigue derivando!
