Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Esta constante es igual a la longitud del eje mayor de la elipse.
Los elementos principales de una elipse son:
- Focos (F1, F2): Los dos puntos fijos que definen la elipse.
- Eje mayor: El segmento de línea que pasa por los focos y tiene sus extremos en la elipse (vértices). Su longitud es 2a.
- Eje menor: El segmento de línea perpendicular al eje mayor en el centro de la elipse y tiene sus extremos en la elipse. Su longitud es 2b.
- Centro (C): El punto medio del segmento que une los focos.
- Vértices (V1, V2, V3, V4): Los puntos donde la elipse intersecta el eje mayor y el eje menor.
- Distancia focal (2c): La distancia entre los dos focos. La relación entre a, b, y c es: c2 = a2 - b2.
La ecuación canónica de una elipse con centro en el origen (0,0) y eje mayor sobre el eje x es:
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x2/a2 + y2/b2 = 1
Si el eje mayor está sobre el eje y, la ecuación es:
x2/b2 + y2/a2 = 1
Donde a > b.
Para una elipse con centro en (h, k), las ecuaciones se modifican a:
Eje mayor paralelo al eje x: (x-h)2/a2 + (y-k)2/b2 = 1
Eje mayor paralelo al eje y: (x-h)2/b2 + (y-k)2/a2 = 1
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de una elipse con centro en (0,0), foco en (3,0) y vértice en (5,0). Aquí, c = 3 y a = 5. Entonces, b2 = a2 - c2 = 25 - 9 = 16, por lo que b = 4. La ecuación es x2/25 + y2/16 = 1.
Ejemplo 2: Dada la ecuación (x-2)2/9 + (y+1)2/4 = 1, el centro de la elipse es (2, -1), a = 3 y b = 2. Por lo tanto, c2 = 9 - 4 = 5, y c = √5.
Las elipses tienen numerosas aplicaciones en el mundo real. Por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas, con el sol en uno de los focos. También se utilizan en el diseño de lentes y reflectores, así como en la arquitectura, por sus propiedades acústicas.
