Ecuación Simétrica De La Recta Que Pasa Por Dos Puntos

Vamos a explicar cómo encontrar la ecuación simétrica de una recta cuando conocemos dos puntos por los que pasa.

Primero, recordemos qué es la ecuación simétrica de una recta. Tiene la forma: x/a + y/b = 1. Aquí, 'a' es la abscisa al origen (el punto donde la recta cruza el eje x) y 'b' es la ordenada al origen (el punto donde la recta cruza el eje y).

Paso 1: Calcular la pendiente de la recta

Necesitamos dos puntos, digamos (x₁, y₁) y (x₂, y₂). La pendiente (m) se calcula con la siguiente fórmula: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).

Ejemplo: Si tenemos los puntos (1, 2) y (3, 6), calculamos la pendiente: m = (6 - 2) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2.

Entonces, la pendiente de la recta que pasa por (1, 2) y (3, 6) es 2.

Paso 2: Encontrar la ecuación punto-pendiente

Usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta: y - y₁ = m(x - x₁). Podemos usar cualquiera de los dos puntos que tenemos.

Ejemplo: Usando el punto (1, 2) y la pendiente m = 2, tenemos: y - 2 = 2(x - 1).

Esta ecuación nos relaciona las coordenadas (x, y) con un punto conocido y la pendiente.

Paso 3: Simplificar la ecuación a la forma general

Desarrollamos la ecuación punto-pendiente para obtener la forma general: Ax + By + C = 0.

Ejemplo: y - 2 = 2(x - 1) se convierte en y - 2 = 2x - 2. Luego, 2x - y = 0. (Aquí, A = 2, B = -1, C = 0).

La forma general es un paso intermedio hacia la ecuación simétrica.

Paso 4: Encontrar las intersecciones con los ejes (abscisa y ordenada al origen)

Para encontrar la abscisa al origen (a), hacemos y = 0 en la ecuación general y resolvemos para x.

Ejemplo: 2x - y = 0. Si y = 0, entonces 2x = 0, lo que implica que x = 0. En este caso, la recta pasa por el origen (0, 0), así que no tiene una forma simétrica "tradicional". Necesitamos un ejemplo diferente para ilustrar este paso completamente. Consideremos la forma general 3x + 2y - 6 = 0.

Para la abscisa al origen: Si y = 0, entonces 3x - 6 = 0, lo que implica que 3x = 6, y x = 2. Entonces, a = 2.

Para encontrar la ordenada al origen (b), hacemos x = 0 en la ecuación general y resolvemos para y.

Ejemplo: Usando 3x + 2y - 6 = 0. Si x = 0, entonces 2y - 6 = 0, lo que implica que 2y = 6, y y = 3. Entonces, b = 3.

Paso 5: Escribir la ecuación en forma simétrica

Ahora que tenemos 'a' y 'b', podemos escribir la ecuación simétrica: x/a + y/b = 1.

Ejemplo: Con a = 2 y b = 3, la ecuación simétrica es: x/2 + y/3 = 1.

Esta es la ecuación simétrica de la recta que pasa por puntos que resultan en la forma general 3x + 2y - 6 = 0.