La ecuación general de la parábola es una forma de expresar la ecuación de una parábola. Vamos a aprender a deducirla cuando conocemos el vértice y el foco.
¿Qué es la parábola?
Una parábola es una curva definida por un punto, llamado foco, y una línea recta, llamada directriz. Cada punto en la parábola está a la misma distancia del foco que de la directriz.
Entendiendo el Vértice y el Foco
El vértice es el punto más bajo (o más alto) de la parábola. Es el punto donde la parábola cambia de dirección. El foco es un punto dentro de la curva de la parábola que influye en su forma.
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Ecuación General con Vértice (h, k) y Foco (h, k+p)
Supongamos que el vértice de la parábola es el punto (h, k) y el foco es el punto (h, k+p). Esto significa que la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
Paso a Paso para la Ecuación
- Forma básica: La ecuación de una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo es (x - h)² = 4p(y - k).
- Identifica h, k, y p:
- h es la coordenada x del vértice.
- k es la coordenada y del vértice.
- p es la distancia dirigida desde el vértice al foco (p > 0 si se abre hacia arriba, p < 0 si se abre hacia abajo). Calcula p restando la coordenada 'y' del vértice a la coordenada 'y' del foco: p = (k + p) - k.
- Sustituye: Reemplaza los valores de h, k, y p en la ecuación (x - h)² = 4p(y - k).
- Simplifica: Desarrolla y simplifica la ecuación para obtener la forma general.
Ejemplo Práctico
Supongamos que el vértice de una parábola es (2, 3) y el foco es (2, 5). Vamos a encontrar su ecuación.
- Identificamos:
- h = 2
- k = 3
- p = 5 - 3 = 2
- Sustituimos: (x - 2)² = 4 * 2 (y - 3)
- Simplificamos:
- (x - 2)² = 8(y - 3)
- x² - 4x + 4 = 8y - 24
- x² - 4x - 8y + 28 = 0
Por lo tanto, la ecuación general de la parábola es x² - 4x - 8y + 28 = 0.
Parábolas que se abren hacia los lados
Si el foco es (h+p, k), la parábola se abre hacia la derecha o izquierda. La ecuación en este caso es (y - k)² = 4p(x - h). El proceso para encontrar la ecuación general es similar, solo que ahora la variable 'y' es la que está elevada al cuadrado.
En Resumen
Conocer el vértice y el foco nos permite determinar la ecuación de una parábola. Recuerda identificar los valores de h, k, y p, sustituir en la fórmula adecuada y simplificar. ¡Practica con diferentes ejemplos para dominar este concepto!
